Question

Calcule o limite a seguir na imagem anexada:

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\sf \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x+4}{x+5}\right)^{(x + 10)} \: \bullet$

Este limite se assemelha com um dos limites fundamentais, dado por:

$\sf \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \lim_{x\to \pm\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x } = e \: \bullet$

Ou seja, vamos partir da ideia deste limite fundamental, tentando se aproximar desta estrutura, através de substituições algébricas.

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Para iniciar, vamos fazer uma substituição de uma letra qualquer na expressão do denominador da fração que está dentro do limite:

$\sf g = x + 5 \: \: \to \: \: x = g - 5$

Substituindo esta expressão em todos os termos que possuem "x":

$\sf \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{g - 5+4}{g - 5+5}\right)^{(g - 5 + 10)} \: \: \to \: \: \sf \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{g -1}{g }\right)^{(g + 5)}$

Como fizemos esta alteração na variável, devemos descobrir para onde a nova variável está tendendo:

$\sf \lim_{x\to-\infty} g, \: mas \: g = x + 5 \\ \sf \lim_{x\to-\infty} x + 5 \: \to \: \lim_{x\to-\infty} - \infty + 5 \: \: \to \: \: \lim_{x\to-\infty} - \infty = - \infty$

Portanto, temos que a nova variável também tende para o infinito negativo. Tendo feito isto, vamos fazer uma pequena mudança na fração dentro do limite, para que se assemelhe cada vez mais com o limite fundamental:

$\sf \lim_{g\to-\infty}\left(\frac{g -1}{g }\right)^{(g + 5)} \: \: \to \: \:\sf \lim_{g\to-\infty}\left(\frac{g }{g } - \frac{1}{g} \right)^{(g + 5)} \\ \\ \sf \lim_{g\to-\infty}\left(1 - \frac{1}{g} \right)^{(g + 5)}$

Agora vamos ter que fazer mais uma substituição para que a fração se torne positiva, assim como no limite fundamental. Então:

$\sf - \frac{1}{g} = \frac{1}{s} \: \: \to \: \: - s = g \: \to \: \: s = - g$

Substituindo todo os termos em g por s:

$\sf \lim_{g\to-\infty}\left(1- \frac{1}{g} \right)^{( g + 5)} \: \: \to \: \: \sf \lim_{g\to-\infty}\left(1- \frac{1}{ - s} \right)^{( - s+ 5)} \\ \\ \sf \lim_{g\to-\infty}\left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 - s)}$

Descobrindo para onde a nova variável tende:

$\sf \lim_{g\to-\infty} s , \: mas \: s = - g \\ \sf\lim_{g\to-\infty} - g \: \: \to \: \: \lim_{g\to-\infty} - ( - \infty ) \: \: \to \: \: \lim_{g\to-\infty} \infty = \infty$

Temos então que a nova variável tende para o infinito positivo. Feito isso, vamos agora aplicar uma das propriedades de potência:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf (x) {}^{y + z} = x {}^{y} + x {}^{z} } \\ \\ \sf \lim_{s\to\infty}\left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 - s)} \: \to \: \sf \lim_{s\to\infty} \left [ \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 )} . \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( - s)} \right ] \\ \\ \sf\lim_{s\to\infty} \left [ \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 )} . \frac{1}{ \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{s} } \right ]$

Utilizando a propriedade da multiplicação de limites podemos separar essa multiplicação em dois limites sendo multiplicados:

$\sf \sf\lim_{s\to\infty} \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 )} . \lim_{s\to\infty} \frac{1}{ \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{s} }$

Observe que o segundo limite na parte do denominador é basicamente o limite fundamental, ou seja, podemos substituir o resultado, que é basicamente o número de Euler:

$\sf \sf\lim_{s\to\infty} \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 )} . \lim_{s\to\infty} \frac{1}{ e } \: \: \to \: \: \sf \sf\lim_{s\to\infty} \left(1 + \frac{1}{ s} \right)^{( 5 )} . \frac{1}{e} \\ \\ \sf \sf \frac{1}{e}. \lim_{s\to\infty} \left(1 + \cancel{\frac{1}{ \infty }} {}^{0} \right)^{( 5 )} \: \: \to \: \: \frac{1}{e} .\lim_{s\to\infty}(1 {}^{5} ) \: \: \to \: \: \frac{1}{e} .1 \\ \\ \boxed{\boxed{ \sf \frac{1}{e} }}$

Portanto, podemos concluir que a resposta deste limite é igual a:

$\: \: \: \: \: \boxed{ \sf\: \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x+4}{x+5}\right)^{(x + 10)} = \frac{1}{e} \: }$

Como a questão pede para substituirmos o valor de Euler, temos que o resultado definitivo é:

$\boxed{\sf \: \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x+4}{x+5}\right)^{(x + 10)} = 0,367}\:$

Espero ter ajudado