Question

Encontre os escalares C₁, C2, C3 tais que:

c(-1, 0, 2) + c(2, 2, -2) + c3(1, -2, 1) = (-6, 12, 4)

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf c_{1} \cdot(-1, 0, 2) + c_{2} \cdot(2, 2, -2) + c_{3} \cdot(1, -2, 1) = (-6, 12, 4)$

Como você pode notar, temos o produto de constantes com escalares, e como sabemos, nesses casos utilizamos a propriedade abaixo:

$\sf \bullet \: \: a= (a_{x}, \:a_{y},\: a_{z})\\ \\ \: \: \: \sf \lambda \cdot \: a = ( \lambda a_{x}, \: \lambda a_{y},\: \lambda a_{z})$

Aplicando a propriedade na questão:

$\sf (-c_{1}, \: 0, \: 2 c_{1} ) + (2 c_{2} , \: 2c_{2}, \: -2 c_{2} ) + (c_{3}, \: -2 c_{3} , \: c_{3}) = (-6, \: 12, \: 4)$

Mais uma vez podemos aplicar outra propriedade, sendo ela a soma vetorial:

$\sf a = (a_{x}, \:a_{y},\: a_{z}) \: \: e \: \: b = (b_{x}, \:b_{y},\: b_{z}) \\ \\ \sf a + b = (a_{x} + b_{x}, \:a_{y} + b_{y},\:a_{z} + b_{z})$

Aplicando a propriedade na questão:

$\sf ( - c_{1} + 2c_{2} + c_{3} , \: 2c_{2} - 2c_{3}, \: 2c_{1} - 2c_{2} + c_{3}) = ( - 6, \: 12, \: 4)$

Agora basta igualar termo por termo, isto é, o primeiro termo do primeiro membro com o primeiro termo do segundo membro e assim por diante. Fazendo isso chegamos a:

$\begin{cases} \sf - c_{1} + 2c_{2} + c_{3} = 6 \\ \sf \: 2c_{2} - 2c_{3} = 12 \\ \sf 2c_{1} - 2c_{2} + c_{3}= 4 \end{cases}$

Note que surgiu um sistema 3x3, ou seja, resolvendo este sistema encontramos o valor das três constantes c1, c2 e c3. Para resolver este sistema, vamos utilizar as Operações Elementares O.E.

• Vamos substituir a linha 1 pela subtração da linha 1 pela linha 2:

$\sf \: \: L_1\leftarrow L_1 - L_2 \: \: \: \to \: \: \: -c_{1} + 3 c_{3} = - 6$

Substituindo esta nova linha no sistema, temos:

$\begin{cases} \sf - c_{1} + 3c_{3} = - 6 \\ \sf \: 2c_{2} - 2c_{3} = 12 \\ \sf 2c_{1} - 2c_{2} + c_{3}= 4 \end{cases}$

• Vamos substituir a linha 3 pela soma da linha 2 pela linha 3:

$\sf \: \: L_3\leftarrow L_2 + L_3 \: \: \: \to \: \: \: 2c_{1} - c_{3} = 16$

Substituindo esta nova linha no sistema, temos:

$\begin{cases} \sf - c_{1} +3 c_{3} = - 6 \\ \sf \: 2c_{2} - 2c_{3} = 12 \\ \sf 2c_{1} - c_{3}= 16\end{cases}$

• Vamos substituir a linha 1 pela soma do dobro da linha 1 pela linha 3:

$\sf L_1\leftarrow 2L_1 + L_3 \: \: \to \: \: 5c_{3} = 4$

Substituindo esta nova linha no sistema, temos:

$\sf \begin{cases} \sf 5c_{3} = 4 \\ \sf \: 2c_{2} - 2c_{3} = 12 \\ \sf 2c_{1} - c_{3}= 16\end{cases}$

Agora basta resolver a equação da primeira linha e ir substituindo o valor da mesma nas linhas subsequentes:

$\sf 5c_{3} = 4 \: \: \to \: \: \boxed{\sf c_{3} = \frac{4}{5}} \\ \\ \sf 2c_{2} - 2c_{3} = 12 \: \: \to \: \: 2c_{2} - 2. \frac{4}{5} = 12 \\ \sf 2c_{2} - \frac{8}{5} = 12 \: \: \to \: \: 2c_{2} = 12 + \frac{8}{5} \\ \sf 2c_{2} = \frac{60 + 8}{5 } \: \: \to 2c_{2} = \frac{68}{5} \\ \sf c_{2} = \frac{68}{10} \: \: \to \: \: \boxed{\sf c_{2} = \frac{34}{5} }\\ \\ \sf 2c_{1} - c_{3 } = 16 \: \: \to \: \: 2c_{1} - \frac{4}{5} = 16 \\ \sf 2 c_{1} = 16 + \frac{4}{5} \: \: \to \: \: 2c_{1} = \frac{80 + 4}{5} \\ \sf 2c_{1} = \frac{84}{5} \: \: \to \: \: c_{1} = \frac{84}{10} \: \: \to \: \: \boxed{\sf c_{1} = \frac{42}{5} }$

Espero ter ajudado