Question

Limites Bilaterais UFRN

$\Large \lim_{x \to 1} \frac{sen(x-1)}{sen(-x+1)}$

Mostre os calculos é as propriedades utilizadas nessa questão

Answer 1

$\displaystyle \sf \lim_{x\to 1}\frac{sen(x-1)}{sen(-x+1)} \\\\\\ \text{Seno {\'e} uma fun{\c c}{\~a}o {\'i}mpar, ou seja :} \\\\ sen(-k) = -sen(k)\\\\ \underline{\text{Da{\'i} fa{\c c}amos}} : \\\\ \lim_{x\to 1}\frac{sen(x-1)}{sen(-x+1)} \\\\\\ \lim_{x\to 1}\frac{sen(x-1)}{sen[-(x-1)]} \\\\\\ \lim_{x\to 1}\frac{sen(x-1)}{-sen(x-1)} \\\\\\ \lim_{x\to 1}- 1 = - 1 \\\\\ Portanto : \\\\ \huge\boxed{\sf \lim_{x\to 1}\frac{sen(x-1)}{sen(-x+1)} = - 1\ }\checkmark$

Answer 2

✅ O resultado do limite é igual a -1.

⚠️ Vamos ao desenvolvimento, acompanhe o passo-a-passo

1° Sabendo que o limite da função resulta em uma indeterminação, aplique a regra de L'Hopital que se dá por:

$\Large \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \Large \lim_{x \to c} \frac{f' (x)}{g ' (x)}$

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{d}{dx} ( \sin(x - 1)) }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

2° Inicialmente, vamos utilizar a regra da Cadeia e derivar a função do numerador, e já de quebra, com a propriedade da soma/diferença, observe:

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{d}{dx} ( \sin(x - 1)) }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{d}{dg} ( \sin(g)) \times \frac{d}{dx} (x - 1) }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \cos(g) \times \frac{d}{dx} (x - 1) }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \cos(g) \times 1 }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \cos(x - 1) \times 1 }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \frac{ \cos(x - 1) }{\frac{d}{dx} ( \sin( - x + 1))} }$

3° Derivando o denominador da mesma maneira, temos (com a regra da Cadeia e a propriedade soma/diferença):

$\Large \lim_{x \to 1} ( - \frac{ \cos(x - 1) }{ \ cos( - x + 1)} )$

4° Agora, basta calcularmos o limite, aplicando a propriedade dos quocientes e somas/diferenças e substituindo todas as variáveis x por 1:

$- \frac{ \cos(lim (x - 1)) }{ \cos(lim( - x + 1)) }$

$- \frac{ \cos(lim (x)) - lim(1)) }{ \cos(lim( - x)) + (lim( 1)) }$

$- \frac{ \cos(lim (1)) - lim(1)) }{ \cos(lim( - 1)) + (lim( 1)) }$

$\Large \lim_{x \to 1} \frac{ \cos(1 - 1) }{ \cos( - 1 + 1) } </p><p>$

$= - 1</p><p>$

Bons estudos! ☄️