Question

1) A função real f(x) = x³ − 3 é injetora? E bijetora?
2) É possível encontrar uma expressão para f-¹(-1 negativo), considerando a f(x) do exemplo anterior?

Answer 1

Resposta:

1 ) f(x)  é função injetora e Bijetora

2 ) Sim existe essa expressão  $y=\sqrt[3]{x+3}$

Explicação passo a passo:

Observação → Função Injetora ( também chamada de injetiva)

Diz-se que uma função é injetora quando, para qualquer valor x1 diferente

de  x2, pertencentes ao domínio da função , obtém-se  f(x1) ≠ f (x2).

Realmente assim vai acontecer.

Repare que qualquer valor elevado ao x³ - 3  dá resultados diferentes

Pois qualquer valor elevado ao cubo vem sempre diferente.

Veja o exemplo de dois valores de opostos ( simétricos )

Exemplos:

x = - 1          f ( -1 )  = - 1 - 3 = - 4

x = 1              f (1 )  =   1 - 3 = - 2

f(x) = x³ − 3 é injetora

Se fosse g (x) =  x² - 3

è que não seria injetora

x = - 1          f ( -1 )  = 1 - 3 = - 2

x = 1              f (1 )  =   1 - 3 = - 2

Tinha-se  que para dois valores de x diferentes , vinha a mesma imagem, o

mesmo valor de f(x).

Observação 2 → Função bijetora ( ou bijeção ou função bijetiva)

É uma função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Observação 3 → Função sobrejetora

Uma função é sobrejetora sempre que qualquer elemento do conjunto B

(contradomínio) for imagem de ,pelo menos um elemento do conjunto A

Assim será  Im(f)=B (Imagem da função f é igual ao conjunto B)

Observação 4  → Início de estudo de funções

Lembra-se que quando começou a estudar funções tinha dois conjuntos, havia imensas representações de dois conjuntos?

Conjunto A do lado esquerdo e Conjunto B do lado direito.

E estavam na forma oval.

Os elementos no conjunto A eram o domínio da função.

No conjunto B estaria o contradomínio, podendo o contradomínio ser

apenas uma parte do conjunto B

Lembrar que Contradomínio de uma função = conjunto imagem da função.

Neste caso a função é sobrejetora porque seu contradomínio sendo todos

os números reais , e cada elemento do contradomínio é imagem de pelo

menos um elemento de conjunto A

O domínio é também o conjunto |R.

Por tudo isto podemos confirmar que  f(x) = x³ − 3 é injetora e sobrejetora ,

logo é  bijetora.

( ver gráfico em anexo 1 )

2 )

$f^{-1} (x) = funcao...inversa$

Para calcular a inversa de f(x) procede-se assim

Função inicial  f(x) = x³ − 3    ou    y =  x³ − 3

1º Troca o y pelo x

x = y³ - 3

2º Resolve-se em ordem a y

$y^3=x+3$

E extrai-se a raiz cúbica em ambos os membros

$\sqrt[3]{y^3} =\sqrt[3]{x+3}$

$y=\sqrt[3]{x+3}$

Precisamos de saber qual o domínio desta função

Como temos uma raiz de índice 3, existe sempre um valor, para qualquer

de x ∈ |R.

$y=\sqrt[3]{x+3}$ tem de domínio |R e de contradomínio |R.

Portanto f(x) tem função inversa.

( ver gráfico em anexo 2 )

Bons estudos.    

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( ∈ ) pertence a      ( |R )  conjunto dos números reais

( ≠ )  diferente de      ( $f^{-1} (x)$ )   função inversa de f(x)

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para

que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.