Question

Preciso da resposta hoje até às 20h, já tentei de mil maneiras!

07. As funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger para um potencial V (x, t), mostre que a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) também é uma solução desta equação.​

Answer 1

• O que a equação de Schrõdinger descreve?

A equação de Schrödinger, desenvolvida pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1925, descreve a evolução temporal de uma partícula subatômica massiva de natureza ondulatória e não relativística.

A equação de Schrodinger é descrita de mais de uma forma, existe a dependente do tempo e a não dependente do tempo, mas usaremos a equação da escala de potência de Schrodinger, que é:

$\sf -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi(x,t) =i\hbar \dfrac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}$

Essa fórmula gera muito respeito na teoria quântica, pois queremos mostrar que a função de onda Ψ(x,t) é uma das soluções da equação de Schrõdinger, devemos descrever a fórmula como:

$\sf -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi(x,t) -i\hbar \dfrac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=0$

• Substituímos a combinação linear da função de onda Ψ(x, t);

$\sf -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2\left[c_1\Psi _1(x,t)+c_2\Psi_2(x,t)+c_3\Psi_3(x,t)\right]}{\partial x^2} \\ \sf+ V(x,t)\left[c_1\Psi _1(x,t)+c_2\Psi_2(x,t)+c_3\Psi_3(x,t)\right]\\ \sf - i\hbar \dfrac{\partial \left[c_1 \Psi _1(x,t)+c_2\Psi_2(x,t) + c_3\Psi_3(x,t)\right]}{\partial t}=0$

Podemos simplificar e obter:

$\sf -\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[ \dfrac{\partial ^2c_1\Psi _1(x,t)}{\partial x^2} +\dfrac{\partial ^2c_2\Psi_2(x,t)}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2c_3\Psi_3(x,t)}{\partial x^2} \right]\\ \sf+ V(x,t)c_1\Psi _1(x,t)+V(x,t)c_2\Psi_2(x,t)+V(x,t)c_3\Psi_3(x,t)\\ \sf -i\hbar\left[ \dfrac{\partial c_1\Psi _1(x,t)}{\partial t}-\dfrac{\partial c_2\Psi_2(x,t)}{\partial t}- \dfrac{\partial c_3\Psi_3(x,t)}{\partial t}\right]=0$

Agora podemos obter um total de 3 equações de Schrõdinger com a mesma solução:

$\sf c_1\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2\Psi_1(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi_1(x,t) -i\hbar \dfrac{\partial\Psi_1(x,t)}{\partial t}\right]+\\ \sf c_2\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2\Psi_2(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi_2(x,t) -i\hbar \dfrac{\partial\Psi_2(x,t)}{\partial t}\right]+\\ \sf c_3\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2\Psi_3(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi_3(x,t) -i\hbar \dfrac{\partial\Psi_3(x,t)}{\partial t}\right]=0$

Agora sabendo que Ψ1 (x, t), Ψ2 (x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da equação de Schrõdinger, obtemos a seguinte expressão:

$\sf c_1\cdot 0+c_2\cdot 0+c_3\cdot 0=0$

Confirmamos que a combinação linear mostrada pelo problema é uma solução da equação de Schrõdinger.