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Resposta:
Área polígono azul: A(DBCE) = 2√3 - 2 ou A(BDCE) ≅ 1,464
Explicação passo a passo:
1) Definir os ângulos (ver figura anexa): a diagonal do quadrado é alinhada à base do Δ ABF, formando o ângulo raso FBG. O ângulo ABF = 60°, pois ΔABF é equilátero. O ângulo CBG = 45°, por ser o ângulo entre o lado do quadrado e a sua diagonal. Agora já podemos calcular os ângulos ABC e BAC:
β = ABC = FBG - ABF - CBG = 180° - 60° - 45° → Ângulo β = 75°
∝ = BAC = BCA - ABC = 90° - 75° → Ângulo ∝ = 15°
2) Cálculo dos lados do triângulo retângulo ΔABC:
- ΔABF é equilátero, então lado AB = 4;
- Lado BC = AB.cos75° = 4(√6-√2)/4 → BC = √6 - √2
- Lado AC = AB.sen75° = 4(√6+√2)/4 → AC = √6 + √2
3) Cálculo da área do triângulo retângulo ΔABC:
A = b.h/2 = AC.BC/2 = 1/2.(√6+√2)(√6-√2) → (Produto notável: a² - b²);
A = 1/2[ (√6)² - (√2)²] = (6 - 2)/2 → Área do ΔABC = 2
4) Cálculo da área do triângulo retângulo ΔADE:
Lado AD = AB/2 = 4/2 → AD = 2
Ângulo DAE = BAC = ∝ = 15° → tg15° = 2 - √3
Observe que: DE/AD = tg 15° → DE = AD.tg 15°
Lado DE = 2.(2 - √3) → DE = 4 - 2√3
Área do triângulo ΔADE = b.h/2 = 1/2.AD.DE = 1/2×2×(4 - 2√3)
Área do ΔADE = 4 - 2√3
5) Cálculo da área azul DEBC: será a diferença entre as áreas dos Δ:
A(DBCE) = A(ΔABC) - A(ΔADE) = 2 - (4 - 2√3)
A(DBCE) = 2√3 - 2 ou:
A(BDCE) ≅ 1,464
