Question

Dados os vetores u (3,2,1) e v (-1,-4,-1), calcule (u + v).(2u – v) e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto:

Answer 1

Resposta:

Se u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1) então (u + v) . (2u - v) = (14, -16, 0).

Explicação passo a passo:

Considerando que estamos em um espaço vetorial $\mathbb{R}^3$ sobre o corpo dos reais, a questão pede para calcular o produto interno entre dois vetores nesse espaço.

1º passo) Relembrar a definição padrão de produto interno em $\mathbb{R}^3$:

$\underbrace{(u_1, u_2, u_3)}_u \cdot \underbrace{(v_1, v_2, v_3)}_v = \underbrace{(u_1v_1, u_2v_2, u_3v_3)}_{u \cdot v}$

2º passo) Calcular os vetores que estão sendo utilizados no produto interno. No problema em questão, temos que $u = (3,2,1)$ e $v = (-1,-4,-1)$, e os vetores utilizados no cálculo do produto interno são $u+v$ e $2u - v$:

• $u+v = (3,2,1) + (-1,-4,-1) = (3-1, 2-4, 1-1) = (2,-2,0)$

• $2u-v = (6,4,2) + (1,4,1) = (6+1, 4+4, 2+1) = (7,8,3)$

3º passo) Utilizar a definição com os vetores que foram encontrados no passo anterior:

$(u+v) \cdot (2u-v) &= (2,-2,0) \cdot (7,8,3)\\= (2*7, -2*8, 0*3)\\= (14, -16, 0)$

Observações:

1. Tenha certeza de qual definição utilizar para o produto interno. Chamamos de produto interno uma operação sobre dois vetores definida em espaços vetoriais que satisfaz certas propriedades. Nesse contexto utilizei a definição usual, mas existem outras definições.
2. Certifique-se qual o espaço vetorial e qual o corpo de escalares em questão. Nesse contexto presumi que o espaço vetorial é $\mathbb{R}^3$ e que o corpo dos escalares é $\mathbb{R}$.
3. Confira suas contas.