Question

Achar as coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano determinado por
A, B e C, segundo a direção do vetor v. Dados: A = (2, 1, 0), B = (0, 2, 1),
C = (0, 0, 2), P = (0, –1, 0) e v = i + k.

Answer 1

As coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano que é determinado por A, B e C, segundo a direção do vetor v conforme os dados apresentados na questão são as seguintes:

P´ (representação do ponto P) = $(\frac{10}{7}, - 1, \frac{10}{7})$

Um vetor pode ser representado por meio de coordenadas.

As coordenadas de um vetor, por sua vez, consistem nos coeficientes , como visto acima ( $(\frac{10}{7}, - 1, \frac{10}{7})$ ), decorrentes da combinação dos vetores geradores / que a geram / de origem.

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

$P' = (\frac{10}{7} ,-1 ,\frac{10}{7})$

Explicação:

Temos que a projeção do ponto P sobre o plano é dado por:

$P' = P + \frac{(A-P) \ . \ \vec n}{\vec n \ . \ \vec v}\vec v$

Como temos um plano determinado por 3 pontos A, B e C, o vetor $\vec n$ é dado por:

$\vec n = \frac{(B - A) \ x \ (C-A)}{|(B - A) \ x \ (C-A)|}$

Calculando cada um individualmente, temos:

$\\ B - A = (0 - 2, 2 - 1, 1 - 0) = (-2,1,1) \\ C - A = (0 - 2, 0 - 1, 2 - 0) = (-2,-1,2) \\ A - P = (2 - 0, 1 - (-1), 0 - 0) = (2,2,0)$

Calculando o produto vetorial de $\vec n$:

$\\ (B - A) \ x \ (C-A) \\ \begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & 1 & 1\\ -2 & -1 & 2 \end{bmatrix} \vspace{0.3cm} 1.2 \vec i + 1.(-2) \vec j + (-2)(-1) \vec k - 1.(-1) \vec i - (-2).2 \vec j - 1.(-2) \vec k \\ = 2 \vec i - 2 \vec j + 2 \vec k + 1 \vec i + 4 \vec j + 2 \vec k \\ = 3 \vec i + 2 \vec j + 4 \vec k \vspace{0.3cm} onde, (B - A) \ x \ (C-A) = (3,2,4)$

e seu módulo é dado por:

$|(B - A) \ x \ (C-A)| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$

Assim, substituindo, encontramos o $\vec n :$

$\vec n = \frac{(3,2,4)}{\sqrt{29}}$

Portanto, substituindo os valores em P' e calculando os produtos escalares, temos:

$P' = (0,-1,0) + \frac{(2,2,0) \ . \ \frac{(3,2,4)}{\sqrt{29}}}{\frac{(3,2,4)}{\sqrt{29}} \ . \ (1,0,1)}(1,0,1)$

Onde:

$(2,2,0) \ . \ \frac{(3,2,4)}{\sqrt{29}} = 2.\frac{3}{\sqrt{29}} + 2.\frac{2}{\sqrt{29}} + 0.\frac{4}{\sqrt{29}} = \frac{6}{\sqrt{29}} + \frac{4}{\sqrt{29}} + 0 = \frac{10}{\sqrt{29}}$

$\frac{(3,2,4)}{\sqrt{29}} \ . \ (1,0,1) = \frac{3}{\sqrt{29}}.1 + \frac{2}{\sqrt{29}}.0 + \frac{4}{\sqrt{29}}.1 = \frac{3}{\sqrt{29}} + 0 + \frac{4}{\sqrt{29}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$

Logo:

$P' = (0,-1,0) + \frac{\frac{10}{\sqrt{29}}}{\frac{7}{\sqrt{29}}}(1,0,1)$

$= (0,-1,0) + \frac{10}{7}(1,0,1)$

$= (0,-1,0) + (\frac{10}{7},0,\frac{10}{7})$

$= (0 + \frac{10}{7} ,-1 + 0 ,0 + \frac{10}{7})$

$= (\frac{10}{7} ,-1 ,\frac{10}{7})$