Question

Limite Bilaterais UFRN

16

$\Large\text{ \lim_{X \to 0} \frac{sen(\frac{x}{2}\cdot cos(x) )}{sem(x)} }$

mostre os cálculos é as propriedades

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf \lim_{x\to 0} \frac{sen(\frac{x}{2}\cdot cos(x) )}{sem(x)}$

Assim como no exercício passado, se formos substituir o valor a qual o "x" tende, o resultado será uma indeterminação do tipo 0/0. Partindo desta ideia já podemos aplicar a regra de L'Hôpital e derivar o denominar e o numerador.

• Derivação do numerador:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf u = sen \left( \frac{x}{2} .cos(x) \right)$

Vamos derivar passo a passo, já que esta é um pouco mais complicada. Como você pode ver, trata-se de uma função composta, isto é, para derivá-la devemos usar a regra da cadeia, dada por $\sf \frac{du}{dx} = \frac{du}{dt} . \frac{dt}{dx}$. Aplicando na expressão:

$\sf u = sen(t) \: \: e \: \: t = \frac{x}{2} cos(x)\\ \\ \sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dt} (sen(t)). \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2}cos(x) \right) \\ \\ \sf \sf \frac{du}{dx} = cos(t). \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2}cos(x) \right)$

Para a outra derivada vamos usar a regra do produto de derivadas $\frac{d}{dx}[f(x).g(x) = \frac{d}{dx}[f(x)].g(x)+f(x).\frac{d}{dx}[g(x)]$:

$\sf \frac{du}{dx} = cos(t). \left( \frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{2} \right].cos(x) + \frac{x}{2} . \frac{d}{dx} (cos(x)) \right) \\ \\ \sf \frac{du}{dx} = cos(t). \left( \frac{cos(x)}{2} + \frac{x}{2}.( - sen(x)) \right) \\ \\ \sf \frac{du}{dx} = cos \left( \frac{x}{2} cos(x)\right).\left( \frac{cos(x)}{2} + \frac{x}{2}.( - sen(x)) \right)$

• Derivação do denominador:

A derivação desta expressão é bem básica, já que a derivada do sen(x) é igual ao cos(x):

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{d}{dx} (sen(x)) = cos(x)$

Substituindo estes resultados no limite:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{cos \left( \frac{x}{2} cos(x)\right).\left( \frac{cos(x)}{2} + \frac{x}{2}.( - sen(x)) \right)}{cos(x)}$

Substituindo o valor a qual o x tende:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{cos \left( \frac{0}{2} cos(0)\right).\left( \frac{cos(0)}{2} + \frac{0}{2}.( - sen(0)) \right)}{cos(0)} \\ \\ \sf \lim_{x \to 0} \frac{cos(0).( \frac{1}{2 } + 0) }{1} \: \: \to \: \: \sf \lim_{x \to 0} \frac{1.( \frac{1}{2} + 0) }{1} \\ \\ \sf \sf \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{2} }{1} \: \: \to \: \: \sf \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} . \frac{1}{1} \: \: \to \: \: \sf \lim_{x \to 0} \frac{1}{2}$

O limite de uma constante é a própria constante, portanto temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf \lim_{X \to 0} \frac{sen(\frac{x}{2}\cdot cos(x) )}{sem(x)} = \frac{1}{2} }$

Espero ter ajudado