Question

Limite Bilatérias UFRN


17)


$\Large \lim_{x \to 0} \frac{(1-cos(x))\cdot sen(1-cos(x))}{1-2cos(x)+cos^2(x)}$


Mostre os calculos é as propriedades utilizadas

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\bullet \: \: \sf \lim_{x \to 0} \frac{(1-cos(x))\cdot sen(1-cos(x))}{1-2cos(x)+cos^2(x)}$

Certamente se substituirmos o valor a qual o x tende, geraremos uma indeterminação do tipo 0/0. Para deixar a expressão mais "limpa", vamos fazer uma breve fatoração:

• Fatoração:

Observe que a expressão do denominador pode ser escrita como um binômio:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{\sf (a - b) {}^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} } \\ \\ \sf \underbrace{1} _{b {}^{2} } - 2. \underbrace{cos(x)} _{a } . \underbrace{1} _{b {}^{} }+\underbrace{cos {}^{2} (x)} _{b {}^{2} } = (cos(x) - 1) {}^{2}$

Substituindo esta expressão no limite:

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{(1-cos(x))\cdot sen(1-cos(x))}{(cos(x) - 1) {}^{2} }$

Mais uma vez podemos fazer uma modificação na expressão do denominador:

$\sf (cos(x) - 1) {}^{2} =( cos(x) - 1).(cos(x) - 1) \\ \sf( cos (x) - 1)^{2} = - 1.(1 - cos(x)).(cos(x) - 1)$

Substituindo a expressão:

$\sf \sf \lim_{x \to 0} \frac{ \cancel{(1 - cos(x))}.sen(1 - cos(x))}{ - 1. \cancel{(1 - cos(x))}.(cos(x) - 1)} \\ \\ \sf \sf \lim_{x \to 0} \frac{sen(1 - cos(x))}{ 1 - cos(x)}$

Agora vamos resolver o limite de fato, para isso vamos utilizar uma pequena substituição de variável. Onde:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf u = 1 - cos(x)$

Substituindo no limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \sf \lim_{x \to 0} \frac{sen(u)}{u}$

Como mudamos a variável, temos também que descobrir para onde essa variável tende.

$\sf \sf \lim_{x \to 0} u \: \to \: \: mas \: u = 1 - cos(x) \\ \sf \lim_{x \to 0} 1 - cos(x) \: \: \to \: \: \sf \lim_{x \to 0} 1 - cos(0) \\ \sf \sf \lim_{x \to 0} 1 - 1 \: \: \to \: \: \sf \lim_{x \to 0} 0 = \boxed{\sf 0}$

Ou seja, a nova variável também tende para 0, o que nos faz ter um limite fundamental:

$\sf \lim_{u \to 0} \frac{sen(u)}{u}$

Como sabemos, o resultado deste limite fundamental é conhecido e é igual a 1, logo a nossa resposta fica como:

$\boxed{\sf \lim_{u \to 0} \frac{sen(u)}{u} =1}$