Question

Resolva cada uma das equações abaixo no intervalo 0≤x<2π ​

Answer 1

Resposta:

a) x = 5.6677055985092

b) x = {0.785398163397448, 1.83259571459405

, 2.87979326579064, 3.92699081698724

, 4.97418836818384, 6.02138591938044}

Explicação passo a passo:

a) tg (x) = -raiz(2)/2

Isolando x,

x = arctg(-raiz(2)/2) +/- 2*k*π

onde k ∈ Z.

Usando uma calculadora, obtemos:

x = -0.615479708670387 +/- 2*k*π

Mas x deve estar no intervalo 0 <= x < 2*π, então

x = -0.615479708670387 + 2*π = 5.6677055985092

Já o valor de x para k = 2 ultrapassa 2*π. Então a única solução é

x = 5.6677055985092

b) tg(3*x - π/2) = 1

A tangente tem o valor 1 para os ângulos π/4 +/- 2*k*π e 5*π/4 +/- 2*k*π para k ∈ Z.

Como x deve estar em 0 <= x < 2*π, os valores possíveis são:

x = {0.785398163397448, 1.83259571459405

, 2.87979326579064, 3.92699081698724

, 4.97418836818384, 6.02138591938044}.

Answer 2

Resposta:

a) A equação possui duas soluções no intervalo de [0, 2π).

x ≈ 2,5261 e x ≈ 5,6677

b) A equação possui seis soluções no intervalo [0, 2π).

{π/4, 7π/12, 11π/12, 5π/4, 19π/12, 23π/12}

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar a tangente na circunferência trigonométrica.

a) De acordo com a circunferência trigonométrica na figura abaixo podemos identificar dois quadrantes (2º e 4º) tais que $\tan (x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Nesse caso o arco não é redutível a um arco notável (30º, 45º, 60º) portanto, sem o auxilio de uma tabela trigonométrica ou uma calculadora científica não é possível determinar o valor de x. Mas podemos escrevê-lo como uma função trigonométrica inversa:

$x=\arctan \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Aproximadamente temos:

$x\approx -0,61548+k\cdot \pi, \ k\in \mathbb{Z}$

Para

$k=1\Rightarrow x\approx 2,5261\\ \\ k=2\Rightarrow x\approx 5,6677\\ \\ k=3\Rightarrow x\approx 8,8093$

k = 3 não convém pois o arco será maior que 2π.

b) De acordo com a circunferência trigonométrica podemos identificar dois quadrantes (1º e 3º) tais que $\tan \left(3x-\dfrac{\pi}{2}\right)=1$.

Nesse caso temos 45º e 225º em radianos são, respectivamente, $\dfrac{\pi}{4}$ e $\dfrac{5\pi}{4}$.

A partir do arco geral temos:

$3x-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\ \\ k=0\Rightarrow 3x=\dfrac{3\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\\ \\ k=1\Rightarrow 3x=\dfrac{7\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{7\pi}{12}$

$k=2\Rightarrow 3x=\dfrac{11\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{11\pi}{12}\\ \\ k=3\Rightarrow 3x=\dfrac{15\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{5\pi}{4}$

$k=4\Rightarrow 3x=\dfrac{19\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{19\pi}{12}\\ \\ k=5\Rightarrow 3x=\dfrac{23\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{23\pi}{12}$

k = 6 não convém pois o arco será maior que 2π.