Question

Sejam x e y números naturais tais que p mínimo múltiplo comum entre eles é $2^{3}.3^{4}.5$ e o máximo divisor comum é $2^{2}.3^{4}$. A quantidade de valores possiveis para x é igual a:

a)4
b)3
c)2
d)1

Answer 1

Resposta:

a)4

Explicação passo a passo:

Se o MDC é $2^2.3^4$ então tanto x quanto y possuem todos esses fatores, podendo inclusive x ser o próprio número $2^2.3^4 = 324$.

Vamos escrever todas as possibilidades de números que podem estar entre eles e o MMC

$2^2.3^4 \ (1^a \ possibilidade) (MDC) \\2^3. 3^4 \ (2^a \ possibilidade) \\2^2. 3^4.5 \ (3^a \ possibilidade) \\2^3. 3^4.5 \ (4^a \ possibilidade) \ (MMC)$

Total de possibilidades para x = 4.

Outra forma de pensar:

Se dividirmos o MMC pelo MDC, encontraremos os fatores que diferenciam X de Y:

$\frac{2^3.3^4.5}{2^2.3^4} = 2.5$

Ou seja, existem 2 fatores que diferenciam X de Y: 2¹ e 5¹

Então X pode ou não ter um desses fatores (ou até mesmo nenhum deles).

Cada possibilidade de existência ou não do fator gera um número diferente, e com isso uma nova possibilidade.

Logo, as possibilidades para X são:

2⁰.5⁰ (1ª possibilidade)

2⁰.5¹ (2ª possibilidade)

2¹.5⁰ (3ª possibilidade)

2¹.5¹ (4ª possibilidade)

Ou seja, 4 possibilidades.