• Matéria: Matemática
  • Autor: Gsaale
  • Perguntado 3 anos atrás

QUESTÃO 01 - As raízes da equação x³ + 3x² + kx - 8 = 0, onde k ∈ IR, formam
uma progressão aritmética. O valor de k é:
a) - 10
b) - 8
c) - 6
d) 6
e) 8

Respostas

respondido por: auditsys
7

Resposta:

\textsf{Leia abaixo}

Explicação passo a passo:

\mathsf{x^3 + 3x^2 + kx - 8 = 0}

\mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{1} = -3}

\mathsf{x_1 \:.\: x_2 \:.\: x_3 = -\dfrac{d}{a} = \dfrac{8}{1} = 4}

\mathsf{x_2 = \dfrac{x_1 + x_3}{2}}

\mathsf{x_1 + x_3 = 2x_2}

\mathsf{2x_2 + x_2 = -3}

\mathsf{3x_2 = -3}

\mathsf{x_2 = -1}

\begin{cases}\mathsf{x_1 + x_3 = -2}\\\mathsf{x_1\:.\:x_3 = -8}\end{cases}

\mathsf{x_1 = 2}

\mathsf{x_3 = -4}

\mathsf{(x - 2)(x + 1)(x + 4) = 0}

\mathsf{x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = 0}

\boxed{\boxed{\mathsf{k = -6}}}\leftarrow\textsf{letra C}

respondido por: Kin07
6

Após os cálculos podemos afirma que o valor de k = - 6 e as raízes do polinômio da questão estarão em P.A. E que corresponde alternativa correta a letra C.

As relações de Girard são relações entre os coeficientes de uma equação algébrica e as raízes da mesma equação.

A equação algébrica do 3° grau  \textstyle \sf   \text  {$ \sf  ax^3 +bx^{2} +cx +d  = 0 ~ ( a \neq 0)  $ }
, cujas raízes são  \textstyle \sf   \text  {$ \sf x_1, x_2 ~e ~ x_3   $ }
, temos as seguintes relações de Girard:

\Large \boxed{\displaystyle \text {  $  \mathsf{ x_1 + x_2 +x_3 = - \dfrac{b}{a}    } $ } }

\Large \boxed{\displaystyle \text {  $  \mathsf{ x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \dfrac{c}{a}    } $ } }

\Large \boxed{\displaystyle \text {  $  \mathsf{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \dfrac{d}{a}    } $ } }

Progressão aritmética ( P A ) é toda sequencia de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é uma constante.

Exemplo:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{a_1 ,a_2,a_3, \cdots , a_n    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  r  = a_2 - a_1  } $ }

Alguns tipos de problema com P.A:

\Large \displaystyle \sf   \begin{cases}
\sf a_1 = x- r \\
  \sf a_2 = x \\
  \sf a_3 =  x + r  
 \end{cases}

Dados fornecidos pelo enunciado:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x^3 +3x^{2}  +kx - 8 = 0, com ~k \in \mathbb{IR.}    } $ }

\Large \displaystyle \sf   \begin{cases}
 \sf a = 1  \\
 \sf b = 3  \\
 \sf c = k  \\
\sf d = - 8
 \end{cases}

O enunciado informa que a equação formam uma progressão aritmética. Logo as raízes são: x - r , x , x + r , onde ( r ) é a razão da PA.

Aplicando a P.A e aplicando a equação de girard da soma, temos:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{x_1 + x_2 +x_3 = - \dfrac{b}{a}     } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{(x - r) + x + (x +r) = - \dfrac{3}{1}     } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{x- \diagdown\!\!\!\! {r} + x +x +  \diagdown\!\!\!\! {r}= - 3    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 3x = - 3   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x = - \dfrac{3}{3}    } $ }

\Large \boldsymbol{  \displaystyle \sf x = -1 }

Para determinar o valor de k, basta substituir o valo x = - 1 na equação.

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x^3 +3x^{2}  +kx - 8 = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ (-1)^3 +3 \cdot (-1)^{2}  +k \cdot (-1) - 8 = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ - 1 +3 \cdot 1  - k  - 8 = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 3   - k  -9 = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  - k  - 6 = 0   } $ }

\Large \boxed{ \boxed{  \boldsymbol{  \displaystyle  \text  {$ \sf   k = - 6  $   }   }} }

Determinar as raízes da equação que estão na P.A:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x^3 +3x^{2}  +kx - 8 = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x^3 +3x^{2}  - 6x - 8 = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{( x + 4) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) = 0    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x  + 4 = 0   } $ }

\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x_1 = - 4  }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x +  1 = 0   } $ }

\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x_2 = - 1  }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ x  - 2 = 0   } $ }

\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x_3 = 2  }

Logo, P. A é ( -4, -1, 2 ).

Alternativa correta é a letra C.

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Anexos:
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