Question

$\int\limits^∞_0 {1÷(2x+1)³} \, dx$

Answer 1

Ficou um pouco confuso de entender a sua questão, mas acredito que você deseje calcular a seguinte integral impropria:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3}\ dx \end{gathered}$

Caso essa não for a integral que você deseja, pode me chamar nos comentários. Mas supondo que seja essa integral, podemos começar aplicando uma substituição simples, fazendo então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u= 2x+1\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt du= 2 dx\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{2}= dx\end{gathered}$

E claro, quando trabalhamos com integrais que tenham limites de integração, devemos sempre após realizar uma substituição ver os "novos limites de integração".

• Quando $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt x=\infty \end{gathered}$ : $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt u=2\cdot\infty+1=\infty\ \ \end{gathered}\ \ \square\kern-6.5pt\raisebox{-1pt}{ \rule{6pt}{1pt} }\kern-0.2pt\raisebox{-1pt}{ \rule{1pt}{7pt} }$
• Quando $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt x=0 \end{gathered}$ : $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt u=2\cdot0+1=1\ \ \end{gathered}\ \ \square\kern-6.5pt\raisebox{-1pt}{ \rule{6pt}{1pt} }\kern-0.2pt\raisebox{-1pt}{ \rule{1pt}{7pt} }$

Com isso, temos que aquela integral é igual a seguinte integral:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \frac{1}{u^3}\ \cdot\frac{du}{2} \end{gathered}$

E pela lineariedade:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{1}{2}\cdot \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} u^{-3}\ du \end{gathered}$

Aplicando agora a propriedade de integração do monômio, dada da seguinte forma:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\tt \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq-1}\end{gathered} }$

Destarte, surge que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{1}{2}\cdot \lim_{b \to \infty}\left.\left( -\frac{1}{2u^2}\right) \right|_1^{b}\end{gathered}$

Aplicando agora o teorema fundamental do cálculo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{1}{2}\cdot \lim_{b \to \infty}-\frac{1}{2b^2}-\left( -\frac{1}{2} \right)\end{gathered}$

Que simplificando, chegamos em:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3}\ dx =\frac{1}{4}\end{gathered}$

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