Question

Sabendo que a derivada da função:
f(x)=ln(3x^3+9x^2+x+3)+ g1(x)
é
f'(x)= 6x/3x^2+1

Determine a derivada g'1(x) de g1(x). Responda no espaço abaixo o valor de g'1(2)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\bullet \: \: \sf f(x) = ln(3x^{3} + 9x^{2} + x + 3) + g_1(x)$

Sabemos que a derivada desta função é conhecida, sendo dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bullet \: \: \sf f'(x) = \frac{6x}{3x {}^{2} + 1} }$

A questão quer saber qual a derivada da função g1(x), para isso, vamos iniciar fazendo a derivação da função f(x) em si.

$\sf \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} ( ln(3x^{3} + 9x^{2} + x + 3) + \frac{dg_1(x) }{dx} \\ \\ \sf \frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{3x {}^{3} + 9x {}^{2} + x + 3 } . \frac{d}{dx} (3x^{3} + 9x^{2} + x + 3) + \frac{dg_1(x)}{dx} \\ \\ \sf \frac{df(x)}{dx} = \frac{9x {}^{2} + 18x + 1 }{3x {}^{ 3} + 9x {}^{2} + x + 3 } + \frac{dg_1(x)}{dx}$

Mas já conhecemos o valor de df(x)/dx, que é dada pela própria questão, então:

$\sf \frac{6x}{3x^{2} + 1} = \frac{9x {}^{2} + 18x + 1 }{3x {}^{ 3} + 9x {}^{2} + x + 3 } + \frac{d g_1(x) }{dx} \\ \\ \sf \frac{6x}{3x {}^{2} + 1} - \frac{9x {}^{2} + 18x + 1 }{3x {}^{ 3} + 9x {}^{2} + x + 3 } = \frac{dg_1(x)}{dx} \\ \\ \sf \frac{6x.(3x {}^{3} + 9x {}^{2} + x + 3) - (3x {}^{2} + 1).(9x {}^{2} + 18x + 1) }{(3x {}^{2} + 1).(3x {}^{3} + 9x {}^{2} + x + 3) } = \frac{d g_1(x) }{dx} \\ \\ \sf \frac{d g_1(x)}{dx} = \frac{18x {}^{4} + 54x {}^{3} + 6x {}^{2} + 18x - [27x {}^{4} + 54x {}^{3} + 12x {}^{2} + 18x + 1 ] }{9x {}^{5 }+ 27x {}^{4} + 6x {}^{3} + 18x {}^{2} + x + 3 } \\ \\ \sf \frac{d g_1(x)}{dx} = \frac{18x {}^{4} + 54x {}^{3} + 6x {}^{2} + 18x - 27x {}^{4} - 54x {}^{3} - 12x {}^{2} - 18x - 1}{9x {}^{5 }+ 27x {}^{4} + 6x {}^{3} + 18x {}^{2} + x + 3 } \\ \\ \sf \frac{dg_1(x)}{dx} = \frac{ - 9x {}^{4} - 6x {}^{2} - 1}{ 9x {}^{5 }+ 27x {}^{4} + 6x {}^{3} + 18x {}^{2} + x + 3 }$

Utilizando uma calculadora online, podemos fatorar estas expressões em:

$\sf \frac{d g_1(x) }{dx} = \frac{ - \cancel{(3x {}^{2} + 1) {}^{2}} }{ \cancel{(3x {}^{2} + 1) {}^{2}}.(x + 3) } \\ \\ \boxed{ \sf \frac{dg_1(x)}{dx} = - \frac{1}{x + 3} }$

Portanto temos que a derivada de g1(x) é este resultado obtido logo acima. Agora basta calcular g'1(2), ou seja, substituir x por 2:

$\sf \frac{dg_1(x)}{dx} = - \frac{1}{2 + 3} \: \: \to \: \: \boxed{ \sf\frac{dg_1(x)}{dx} = - \frac{1}{5} }$

Espero ter ajudado