Considere o polinômio p(x)=2x5+ax4+bx3+cx2+dx−10, a,b,c,d∈Z. Sabe-se que p(12)=0,p(5–√i)=0,p(−2)=0,p(±10)≠0,p(±5)≠0,p(±52)≠0 e p(2)≠0 . Quantas e quais raízes de p(x) podem ser obtidas utilizando as informações anteriores. Justifique. É possível haver mais alguma raiz racional para p(x) ? Em caso afirmativo quais seriam os candidatos a raiz? Justifique. Se nenhum dos candidatos anteriores for raiz, a que conjunto numérico deve(m) pertencer a(s) outra(s) raiz(es) de p(x) ? Justifique. ** Justificar todos os resultados utilizados. Não serão consideradas respostas sem justificativa.
Respostas
Resposta: Diretamente 3, por consequência 4 ou 5 de acordo com o seu aprendizado. 3 ∈ Z e 2 são complexas.
Explicação passo a passo:
Se p(12) = 0 => 12 é uma raiz
Se p(5-√i) => 0 => 5-√i é uma raiz
Se p(-2) = 0 => - 2 é uma raiz.
Com as informações citadas podem ser obtidas essas 3 raízes.
Como consequência das informações dadas é possível identificar uma ou outra raiz que é complexa e é a conjugada de 5 -√i ou seja, é 5 +√i
A 5ª raiz pertente aos conjunto dos racionais(Z) pois como os coeficientes,a,b,c,d e -10 ∈ Z a última raiz também ∈ Z pois toda raiz irracional ou complexa sempre tem uma raiz conjugada. [Conclusão: se a raiz fosse irracional ou complexa deveria existir uma 6º raiz e a equação do 5º só tem 5 raízes]
Se você já aprendeu as Relações de Girard é possível calcular essa raiz pois,
"O produto das 5 raízes é igual ao cociente entre o termo independente(-10) com sinal invertido(+10) sobre o coeficiente do termo a^5 (2)", Chamando de x essa raiz,
Produto das raízes = 10/2 = 5
(12)(5-√i)(5+√i)(-2)(x) =5 [o produto desses complexos conjugados é igual 5² - i² = 25 + 1 = 26]
-24(26)x = 5
-624x = 5
x = - 624/5 [confirmado que ∈ Z]