Question

Dividindo aleatoriamente um segmento em tres partes, qual é a probabilidade de que esses

novos segmentos formem um triangulo?​

Answer 1

Resposta:

Probabilidade de 25 %

Explicação passo a passo:

Vou resolver este problema usando um segmento com dimensão de uma unidade.

[ AB ] = 1 u.m.

1º passo: Dividi-lo em três partes

A          x         C         y           D             1 - ( x + y )         B

|--------------------|---------------------|----------------------------------B

[ AC ] = x ( comprimento )

[ CD ] = y ( comprimento )

[ DB ] = 1 – ( x + y ) ( comprimento ) = 1 - x - y

Nota → A reta que contém o segmento FH, no triângulo vermelho,

corresponde à representação de

1 - x - y = 0

O triângulo vermelho, tem seus lados formados por estas três condições.

Obviamente que todas estas porções do segmento de reta originais têm

que ter dimensão superior a zero.

x > 0 ;  y > 0   ;   1 – x – y > 0

Esta será a área limitada por estas três condições.

Resolvendo a última condição

1 – x – y > 0

- x – y > - 1

Multiplicando tudo por ( - 1 )

x + y < 1

2 º  Passo – Representar a figura limite

Estas 3 condições ficam graficamente representáveis dentro do

Triângulo a Vermelho.

Assim as formas possíveis de representar o triângulo pedido estará

dentro da zona limitada por este triângulo retângulo ( vermelho ) que

terá como dimensão de cada cateto 1 unidade.

3 º Trabalhar com a condição de existência de um triângulo

Observação 1 → Existência de um triângulo

Um triângulo só existe quando o maior lado é inferior à soma dos

outros dois .

Equivalente a dizer que

Cada lado é menor que metade do perímetro do  triângulo.

Como o segmento de reta que uso tem 1 unidade obtém-se as seguintes

relações

x < ½

y < ½

1 - x – y < ½      logo   x + y < ½

A região favorável está no interior do triângulo ( a verde ) formado

pelos pontos médios dos lados do triângulo inicial.

A área do triângulo  inicial é:

( Base * altura) / 2

(1 * 1 ) / 2  = 1 / 2 u.a.

A área onde é favorável traçar o triângulo de acordo com o problema

será:

( ½ * ½ ) / 2 = 1/8

$Probabilidade = \dfrac{casos...favoraveis}{casos...possiveis} =\dfrac{area...triangulo...verde}{are...triangulo...vermelho} =\dfrac{1}{8} :\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{1}{8} :\dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{8} *\dfrac{2}{1}=\dfrac{2}{8} =\dfrac{1}{4} =0,25$

= 25% de probabilidade

Fez-se a prova para segmento original de dimensão 1 unidade.

Como se trata de dimensões lineares será verificável para qualquer

dimensão pertencente a |R.

Bons estudos.

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( u.m. ) unidade de medida       ( * ) multiplicação      ( / )   e ( : )  divisão

(u. a. ) unidade de área