Question

Um projétil é lançado do solo sob um ângulo de 60° com a horizontal e com velocidade inicial de 50 m/s. Considerando que sen 60° = 0,8, cos 60° = 0,5 e g = 10 m/s2. Determine: (a) as equações do movimento vertical;
(b) a equação do movimento horizontal
(c) a altura máxima alcançada;
(d) a posição do projétil no instante 2s;
(e) o tempo que o projétil permanece no ar;
(f) o alcance;
(g) a equação da trajetória.

Answer 1

O lançamento oblíquo é uma junção de movimentos na vertical e horizontal. ( Vide a figura em anexo ).

O lançamento oblíquo ocorre quando um objeto inicia seu movimento formando um determinado ângulo com a horizontal.

Na direção horizontal é um movimento retilíneo e uniforme com a velocidade constante e não existe aceleração.

No triângulo retângulo, ( Vide a figura em anexo), temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\sin{\theta} = \dfrac{V_{0y}}{V_0} \Rightarrow V_{0y} = V_0 \cdot \sin{\theta} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\cos{\theta} = \dfrac{V_{0x}}{V_0} \Rightarrow V_{0x} = V_0 \cdot \cos{\theta} } }$

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf V_x = V_{0x} = V_0 \cdot \cos{\theta} \\ \sf a_x = 0 \\ \sf S_{0x} = 0 \\ \sf S_x = V_{0x} \cdot t = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t \end{cases}$

Na direção vertical existe aceleração constante e igual à aceleração da

gravitacional g, isto é temos nessa direção um MUV.

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf a_y = -g \\ \\ \sf V_y = V_0 \cdot \sin{\theta} + g \cdot t \\\\ \sf V_y^2 = V_0^2 \cdot \sin^2{\theta} +2\cdot g \cdot y \\\\ \sf S_y = V_0 \cdot \sin{\theta} \cdot t +g \cdot t^2/2 \\ \end{cases}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \theta = 60^\circ \\ \sf V_0 = 50\: m/s\\ \sf \sin{60^\circ} = 0{,}8 \\ \sf \cos{60^\circ} = 0{,}5 \\ \sf g = 10 \: m/s^2 \\ \end{cases}$

(a) as equações do movimento vertical;

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \sf V_y = V_0 \cdot \sin{\theta} + g \cdot t \\\\\sf V_y^2 = V_0^2 \cdot \sin^2{\theta} +2\cdot g \cdot y \\\\\sf S_y = V_0 \cdot \sin{\theta} \cdot t +g \cdot t^2/2 \\ \end{cases}$

(b) a equação do movimento horizontal;

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf V_x = V_{0x} = V_0 \cdot \cos{\theta} \\ \\ \sf S_x = V_{0x} \cdot t = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t \end{cases}$

(c) a altura máxima alcançada;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ V_y^2 = V_0^2 \cdot \sin^2{\theta} +2\cdot g \cdot y } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0^2 ={50}^2 \cdot (0{,}8)^2 +2\cdot (-10)\cdot y } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 =2\:500 \cdot 0{,}64 -20\cdot y } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 0 = 1\:600 -20\cdot y }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 20 \cdot y = 1\:600 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{1\:600}{20} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 80\: m }$

(d) a posição do projétil no instante 2 s;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_y = 50 \cdot \sin{60^\circ} \cdot 2 -10\cdot 2^2/2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_y = 50 \cdot {0,}8 \cdot 2 -10\cdot 4/2 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ S_y = 40 \cdot 2 -10\cdot 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ S_y = 80 -20 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_y = 60\: m }$

(e) o tempo que o projétil permanece no ar;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_y = V_0 \cdot \sin{\theta} \cdot t +g \cdot t^2/2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 = 50 \cdot \sin{60^\circ} \cdot t -10\cdot t^2/2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 0 = 50 \cdot 0{,}8 \cdot t -5 t^2 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 0 = 40t -5 t^2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ }$$\Large \displaystyle \mathsf{ 5 \cdot t \cdot t = 40t }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{40t}{5t} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 8 \: s }$

f) o alcance;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_x = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_x = 50 \cdot \cos{60^\circ} \cdot 8 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_x = 50 \cdot 0{,5} \cdot 8 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ S_x = 25 \cdot 8 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_x =200\: m }$

(g) a equação da trajetória.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_y = V_0 \cdot \sin{\theta} \cdot t +g \cdot t^2/2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_y = 50 \cdot \sin{60^\circ } \cdot t - 10\cdot t^2/2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{S_y = 50 \cdot0{,}8 \cdot t -5t^2 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_y = 40t -5t^2 }$

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