Question

questões do PAS 3 de 2020, gostaria de ajuda com essas questões para aprender como resolve-las

Answer 1

Resposta:

91) E

92) E

93) C

94) 141

Explicação:

91) As bases do acampamento estão nos focos, então é necessário achá-los. Vemos que é uma elipse horizontal centrada na origem, então conseguimos diretamente achar as medidas do semieixo maior e menor simplesmente olhando para a figura:

$semieixo \ maior: a = 3\\ semieixo \ menor: b = 2$

Agora precisamos achar a semi-distância focal (c), e pra isso fazemos um pitágoras com os semieixos:

$a^2 = b^2 + c^2\\ 3^2 = 2^2 + c^2\\ c = \sqrt{5}$

Agora que achamos a semi-distância focal (c), como a elipse está centrada na origem, e a elipse é horizontal, as coordenadas dos focos são:

F1 = ($-\sqrt{5}$,0)

F2 = ($+\sqrt{5}$,0)

Agora, vamos ver onde a reta da estrada intercepta o eixo x:

y = -x + 2

0 = -x + 2

x = 2

Vemos então que ($+\sqrt{5}$,0) ≠ (2,0) ≠ ($-\sqrt{5}$,0), então a estrada não passa por nenhuma base do acampamento).

Alternativa Errada.$\rule{350}{1}$

92) Pra avaliar essa alternativa vamos ajustar a equação da circunferência que ele deu para a forma reduzida, para que fique explícito o centro e o raio da circunferência.

Pra achar a forma reduzida, devemos reconstruir os produtos notáveis:

$Equacao \ reduzida \ de \ uma \ circunferencia:(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = R^2\\ x^2 + y^2 - 6y + 5 = 0\\ (x-0)^2 + (y-3)^2 + 5= (-3)^2 + (-0)^2\\ x^2 + (y-3)^2 = 9-5\\ x^2 + (y-3)^2 = 4\\ \bold{x^2 + (y-3)^2 = 2^2}$

Logo, vemos que o raio da circunferência é 2 e o seu centro é (0, 3)

Ora, se o centro da circunferência é (0,3) e o raio é 2, ela vai intersectar sim a elipse (veja a figura anexa).

Alternativa Errada.

93) Já sabemos todos os dados necessários da elipse e da esfera, basta aplicarmos as fórmulas da Área e comparar.

$Area \ Circunferencia \ (caliandra): \pi.r^2\\ \pi.2^2 = 4\pi\\ \\ Area \ Elipse \ (flamboyant): \pi.a.b\\ \pi.3.2 = 6\pi\\ 4\pi < 6\pi \\ \bold{A_{circunferencia} < A_{elipse}}$

Alternativa Correta.

94) Basicamente ele está pedindo para calcularmos uma distância entre ponto e reta, onde a reta é y = -x + 2 e o ponto é (0,0). Mas pra usar a fórmula, a equação da reta precisa estar na forma geral (ax + by + c = 0) então vamos ajustá-la:

y = -x + 2

x + y - 2 = 0

Agora, podemos simplesmente aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta:

$d_{pontoReta} = \dfrac{|ax_o + by_o + c|}{\sqrt{(a^2 + b^2)}}\\\\ d_{pontoReta} = \dfrac{|1.0 + 1.0 + -2|}{\sqrt{(1^2 + 1^2)}}\\ \\ d_{pontoReta} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}\\ \\ d_{pontoReta} = \dfrac{2.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}\\ \\ d_{pontoReta} = \dfrac{2.\sqrt{2}}{2}\\ \\ d_{pontoReta} = \sqrt{2}\\ \\ d_{pontoReta} \approx 1,41\ km \ (o \ enunciado \ diz \ que \ as \ medidas \ estao \ em \ km)$

Como ele quer a medida em decâmetros, basta deslocar a vírgula duas vezes para a direita:

d = 141 dam.