Question

Lim(1+a/x)^x com x tendendo ao infinito

Answer 1

• Lembre-se das seguintes informações:

Os limites do número "e" são aqueles que possuem uma indeterminação de base 1 e expoente infinito. Basta ver ou fazer uma tabela de valores para verificar se a base tende a 1 e o expoente ao infinito, o resultado tende ao valor 2.718....

Todos os limites dessa indeterminação têm um resultado relacionado ao número “e”. Esses limites são escritos como:

$\large\displaystyle\sf \lim_{x \to \infty } \left(1 + \dfrac{1}{x} \right )^{x} =e$

Eu acho que seu limite está escrito como um limite que está conectado ao número de euler, seu limite é:

$\large\displaystyle\sf \lim_{x \to \infty } \left(1 + \dfrac{a}{x} \right )^{x}$

Para resolver este limite vamos tentar igualar este limite como o limite de Euler, para isso vamos ter uma variável "y" que é igual a:

$\large\displaystyle\sf ay= x =\infty$

Agora substituímos o valor de "x" por "y" e assim obtemos este novo limite:

$\large\displaystyle\sf \lim_{y \to \infty } \left(1 + \dfrac{\not a}{\not ay} \right )^{ay}$

Aplicamos as leis dos expoentes para obter o limite de Euler mas com uma diferença não tão grande:

$\large\displaystyle\sf \lim_{y \to \infty } \left[\left(1 + \dfrac{1}{y} \right )^{y} \right]^{a}$

Equacionamos o limite como um valor que nem conhecemos:

$\large\displaystyle\sf L= \lim_{y \to \infty } \left[\left(1 + \dfrac{1}{y} \right )^{y} \right]^{a}$

Aplicamos os logaritmos naturais para poder diminuir o "y" que está nos dando problemas:

$\large\displaystyle\sf \ln L= \lim_{y \to \infty } \ln\left[ \left(1 + \dfrac{1}{y} \right )^{y} \right]^{a}$

$\large\displaystyle\sf \ln L= \lim_{y \to \infty } a\cdot y\ln\left(1 + \dfrac{1}{y} \right)$

$\large\displaystyle\sf \ln L= \lim_{y \to \infty } a\dfrac{\ln\left(1 + \dfrac{1}{y} \right)}{\dfrac{1}{y}}$

Lembre-se que 1 dividido por números maiores será igual a 0 e para a expressão de 1/y vamos torná-lo igual à variável "t" que sempre será igual a 0 e com isso temos o seguinte limite:

$\large\displaystyle\sf \ln L= a\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\ln\left(1 + t \right)}{t}$

• Aplicamos a manobra de L'Hospital para simplificar o limite:

$\large\displaystyle\sf \ln L= a\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\dfrac{d}{dt} \ln\left(1 + t \right)}{\dfrac{d}{dt} t}$

• A derivada nos dá um resultado igual a:

$\large\displaystyle\sf \ln L= a\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\dfrac{1}{1+t}}{1}$

$\large\displaystyle\sf \ln L= a\lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{1+t}$

Já temos um limite bem simples de resolver agora é só substituir o valor de "t":

$\large\displaystyle\sf \ln L= a\lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{1+0}$

$\large\displaystyle\sf \ln L= a\cdot 1$

$\large\displaystyle\sf \ln L= a$

Aplicamos exponenciais ou números de euler em ambas as partes para obter o valor do limite que tínhamos no início:

$\large\displaystyle\sf e^{ \ln L}=e^a$

$\boxed{\boxed{ \large\displaystyle\sf L=e^a}}$

• Problema relacionado:

lim(e^x+x)^1/x tendendo a infinito https://brainly.com.br/tarefa/11894601

Bons estudos!