Question

Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e invers´ıveis. Mostre que A.B ´e invers´ıvel e que (A.B) ^−1 = B^−1 .A^−1

Answer 1

Explicação passo a passo:

Admitir inversa significa que o determinante é diferente de zero.

$det(A) \neq 0, \det(B) \neq 0. \\ det(AB) = det(A)\cdot det(B) \neq 0.$

Logo, AB admite inversa.

$I = (A\cdot B)\cdot(A\cdot B)^{-1}\\A^{-1}\cdot I = A^{-1}\cdot (A\cdot B)\cdot (A\cdot B)^{-1} = (A^{-1}\cdot A)\cdot B\cdot (A\cdot B)^{-1} = I\cdot B\cdot (A\cdot B)^{-1} \\A^{-1} = B\cdot (A\cdot B)^{-1}\\B^{-1}\cdot A^{-1} = B^{-1}\cdot B\cdot (A\cdot B)^{-1} = I\cdot (A\cdot B)^{-1}\\B^{-1}\cdot A^{-1} = (A\cdot B)^{-1}$