Matéria: Matemática
Autor: Perguntademais
Perguntado 3 anos atrás

Expresse os seguintes como combinaçoes lineares de u = (2,1,4), v = (1, −1,3) e w = (3,2,5)

a) (−9,−7,−15)

b) (6,11,6)

Anônimo: bom dia!sei responder as tuas questões de geometria analítica, se tiver interessado manda teu What ou outro meio de contato

Perguntademais: vai cobrar?

Perguntademais: quanto?

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Respostas

respondido por: leandrosoares0755

Resposta:

a) (-9 , -7 , -15) = -2u + v - 2w

b) (-9 , -7 , -15) = 4u - 5v + w

Explicação passo a passo:

Fazer a combinação linear de vetores, consiste em identificar coeficientes escalares que multiplicam cada um dos vetores e obtem um novo vetor como resultado.

u = (2,1,4) v = (1, −1,3) w = (3,2,5) Vetores a serem combinados.

Vou utilizar a notação matricial para facilitar a identificação dos sistemas de equações lineares. Os coeficientes serão α, β e π

a = (-9 , -7 , -15) a = αu + βv + πw

$\left[\begin{array}{c}-9\\-7\\-15\end{array}\right] = \alpha \left[\begin{array}{c}2\\1\\4\end{array}\right] + \beta \left[\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right] + \pi \left[\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right]\\ \\\\ \left[\begin{array}{c}-9\\-7\\-15\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\alpha \\\alpha \\4\alpha \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\beta \\-\beta \\3\beta \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}3\pi \\2\pi \\5\pi \end{array}\right]$

Equação 1: 2α + β + 3π = -9 Tem vários métodos de

Equação 2: α - β + 2π = -7 resolução de sistemas

Equação 3: 4α + 3β + 5π = -15 lineares. Pode escolher o que

achar mais adequado.

E₁ + E₂ ⇒ 2α + β + 3π = -9

α - β + 2π = -7 +

_________________

3α + 0 + 5π = -9 ⇒ 3α + 5π = -16 (E₄)

________________________________________________________

3E₁ - E₃ ⇒ 6α + 3β + 9π = -27

4α + 3β + 5π = -15 -

_________________

2α + 0 + 4π = -12 ⇒ 2α + 4π = -12 (E₅)

______________________________________________________

3E₅ - 2E₄ ⇒ 6α + 12π = -36

6α + 10π = -32 -

_________________

0 + 2π = - 4 ⇒ 2π = -4 ∴ π = -4/2 ∴

π = -2

_______________________________________________________

Substitui π na E₄: 3α + 5π = -16 ∴ 3α + 5 · (-2) = -16 ∴

3α -10 = -16 ∴ 3α = -16 + 10 ∴ 3α = -6 ∴

α = -6/3 ∴ α = -2

Substitui α e π na E₁:

2α + β + 3π = -9 ∴ 2 · (-2) + β + 3 · (-2) = -9 ∴ -4 + β - 6 = -9

β - 10 = -9 ∴ β = -9 + 10 ∴ β = 1

(-9 , -7 , -15) = -2u + v - 2w

_______________________________________________________

b = (6 , 11 , 6) b = αu + βv + πw

$\left[\begin{array}{c}6\\11\\6\end{array}\right] = \alpha \left[\begin{array}{c}2\\1\\4\end{array}\right] + \beta \left[\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right] + \pi \left[\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right]\\ \\\\ \left[\begin{array}{c}6\\11\\6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\alpha \\\alpha \\4\alpha \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\beta \\-\beta \\3\beta \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}3\pi \\2\pi \\5\pi \end{array}\right]$