Question

54. Considere um círculo de centro O e corda AB que não passa pelo centro do círculo. Considere, ainda, que a corda AB possui um ponto P que está a uma unidade do centro 0, duas unidades do ponto A e três unidades do ponto B. Com base nos dados fornecidos, podemos garantir que o círculo possui raio igual a:
a) 2 unidades
b) √7 unidades
c) 2√2 unidades
d) 3 unidades
e) √10 unidades​

Answer 1

Resposta: b) √7 unidades

Explicação passo a passo:

Fica difícil explicar sem fazer a construção geométrica mas vou tentar.

Pelo centro O da circunferência trace uma perpendicular à corda AB e chame este ponto de M pois ele é o ponto médio da corda AB.

AM = BM =>(AM + BM)/2 = (AP + PB)/2 = (2 + 3)/2 = 5/2

O Δ POM é retângulo no vértice M.(pois OM é perpendicular a AB)

Aplique o teorema de Pitágoras

OP = hipotenusa do triângulo = 1 unidade(dado do enunciado)

MP = AM - AP = (5/2) - 2 = (5 - 4)/2 = 1/2 unidade

(OP)² =  (MP)² + (MO)²

1 ² = (1/2)² + (MO)²

(MO)² = 1² - (1/2)² = 1 - (1/4) = (4-1)/4 = 3/4 (não precisa calcular MO pois será usado (MO)²

Agora aplique Pitágoras no Δ AMO retângulo no vértice M.

AO é a hipotenusa desse Δ e é também o raio da circunferência.

(AO)² = (AM)² + (MO)²

R² = (5/2)² + (3/4)

R² = (25/4) + (3/4) = (25 + 3)/4 = 28/4 = 7

R = √7 unidades.