Matéria: Física
Autor: romesson03
Perguntado 3 anos atrás

Uma lancha se descloca no lago de Tucuruí com velocidade v1 em rota de colisão com outra lancha a uma distância d à sua frente deslocando-se no mesmo sentido, com uma velocidade menor v2. O comandante da lancha de velocidade v1 desliga o motor causando uma desaceleração a. Mostre que se d > (v1−v2)^2/ 2a , não haverá colisão e se d < (v1−v2)^2/ 2a , haverá colisão.

Respostas

respondido por: ComandoAlfa

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Cinemática, fomos capazes de realizar a demonstração pedida.

➜ A figura em anexo mostra um esboço do que está ocorrendo. Quando a lancha de velocidade $v_1$ desliga o motor, ela passa a descrever um MRUV, com aceleração negativa $a_x=-a$ , de modo que sua equação para posição x é:

$x_1=x_0+v_{0x}t+\dfrac{1}{2}a_xt^2=v_1t-\dfrac{1}{2}at^2$

A lancha de velocidade $v_2$ descreve um MRU, e sua equação é:

$x_2=x_0+v_{0x}t=d+v_2t$

➜ Agora igualamos as duas equações para encontrar o instante $t$ em que ocorre a colisão,

$\begin{array}{l} v_{1} t-\dfrac{1}{2} at^{2} =d+v_{2} t\Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow v_{1} t-v_{2} t-\dfrac{1}{2} at^{2} -d=0\\ \\ \Longrightarrow -\dfrac{1}{2} at^{2} +( v_{1} -v_{2}) t-d=0 \end{array}$

➜ É uma equação do segundo grau em $t$ . Não haverá colisão, se, e somente se, essa equação não apresentar raízes reais, ou seja, $\Delta<0$ . Portanto

$\begin{array}{l} \Delta < 0\\ \\ \Longrightarrow ( v_{1} -v_{2})^{2} -4\left( -\dfrac{1}{2} a\right)( -d) < 0\\ \\ \Longrightarrow ( v_{1} -v_{2})^{2} -2ad< 0\\ \\ \Longrightarrow \underline{\underline{d >\dfrac{( v_{1} -v_{2})^{2}}{2a}}} \end{array}$