Question

Obtenha a medida do raio da circunferencia da equação xaoquadrado +yaoquadrado+4x+8y=0?:

Answer 1

Resposta:

Raio = $2\sqrt{5}$

( ver gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Equação geral da circunferência

ax² + by² + cx +dy + e = 0

que aqui tem a equação

x² + y² + 4x +8y + 0 = 0

x² + y² + 4x +8y  = 0

Para encontrar o raio, vamos passar de Equação Geral para a Equação

Reduzida da circunferência.

Observação 2 → Equação reduzida da circunferência

( x - a )² + ( y - b )² = r²

O Centro terá será ( a ; b ) e o raio = r

Como passar de uma para a outra?

Agrupar os termos em "x" e acrescentar (4/2)²

Depois

Agrupar os termos em "y" e acrescentar (8/2)²

E

como acrescentei estes valores tenho que, à frente, os colocar a subtrair.

Com

( x² + 4x + (4/2)² ) vou obter um produto notável, neste caso , o

"Quadrado de uma soma "

( x + 2 )²

Assim se executa o " completar o quadrado ".

O mesmo procedimento para o "y"

Mas aparece-nos ( x + 2 )² + ( y + 4 )²

quando devia estar na forma ( x - a )² + ( y - b )².

Assim usamos a equivalência " + 2 " = - ( - 2 ) " e  " + 4 " = - ( - 4 ) "

Deste modo estamos alinhados com a Fórmula da Equação Reduzida da

circunferência.

Ficamos com coordenadas do Centro , C = ( - 2 ; - 4)  

Quanto ao raio

No segundo membro da equação reduzida fica o raio ao quadrado.

Deu-nos  "20", então extraímos e simplificamos a raiz quadrada.

$raio=\sqrt{20} =2\sqrt{5}$

Início dos cálculos

x² + y² + 4x + 8y = 0

( x² + 4x + (4/2)² ) + ( y²+ 8y + (8/2)² ) -  (4/2)² -  (8/2)² = 0

( x² + 4x + 2² ) + ( y²+ 8y + 4² ) -  2² -  4² = 0

( x + 2 )² + ( y + 4 )² -  4 -  16 = 0

( x - ( - 2 ) )² + ( y - (- 4) )² = 20

( x - ( - 2 ) )² + ( y - (- 4) )² = (√20 )²

O centro da circunferência será ( - 2 ; - 4 )

O raio será $\sqrt{20}$

Simplificar $\sqrt{20}$  =  $\sqrt{20} =\sqrt{4*5} =\sqrt{4} *\sqrt{5} =2\sqrt{5}$

Fim de cálculos

Observação final → No anexo aonde está o gráfico, o Segmento RC

( o raio ) o valor 4,47 é calculado internamente pelo programa usado.

$2\sqrt{5} =2*2,236=4,47$

Verificado e correto.

Bons estudos.

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( / ) divisão   ( * ) multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Answer 2

Resposta:

r = 2√5

Explicação passo a passo:

x² + y² + 4x + 8y = 0

vamos completar os quadrados nas variáveis x e y

x² + 4x + y² + 8y = 0

Somando a metade (b/2)² a ambos os membros.

x² + 4x + (4/2)² + y² + 8y + (8/2)² = 0 + (4/2)² + ( 8/2)²

x² + 4x + 2² + y² + 8y + 4² = 0 + 2² + 4²

x² + 4x + 4 + y² + 8y + 16 = 4 + 16

Fatorando os quadrados perfeitos, temos:

(x + 2)² + (y + 4)² = 20

A equação reduzida da circunferência é da forma:

(x - a)² + (y - b)² = r²,  C(a, b)

-a = 2 ⇒ a = -2

-b = 4 ⇒ b = -4

C(-2, -4) é o centro da circunferência

r² = 20

r² = 4.5

r = √4.√5

r = 2√5