Question

Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a região da area finita e limitada pelos planos graficos das funcões f(x)=x² e g(x)=9, se a reta y=K divide essa região em duas partes iguais, entao K é?

Answer 1

O valor de k que divide a região em duas partes iguais é $k=\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$.

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Integral definida no cálculo de áreas

A área da região limitada por duas funções cujos gráficos se interceptam em dois pontos (a, f(x)) e (b, f(x)) pode ser calculada pela integral definida da diferença entre as funções no intervalo de a a b. Para a questão apresentada, a área entre g(x) e f(x) pode ser calculada pela integral definida da diferença entre as funções g(x) e f(x) entre -3 e 3:

Área  =    $\int\limits^{3}_{-3} [g(x)-f(x)] \, dx$

         =    $\int\limits^{3}_{-3} (9-x^2) \, dx$

         =    $[9x-\frac{x^3}{3} ]^3_{-3}$

         =    $(27 - 9) - (-27 + 9)$

         =   36

Logo,

$\int\limits^{\sqrt{k}}_{-\sqrt{k}} [k-f(x)] \, dx = 18$

Resolvendo:

$\int\limits^{\sqrt{k}}_{-\sqrt{k}} (k-x^2) \, dx = 18$

$[kx-\frac{x^3}{3} ]^{\sqrt{k}}_{-\sqrt{k}} = 18$

$\frac{4\sqrt[2]{k^3} }{3} = 18$

Logo, o valor de $k=\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$.

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