Em Serra Negra do Norte, um fabricante vende bonés por R$ 6 cada e, a esse preço, os consumidores vêm comprando 6.000 bonés por mês. O fabricante gostaria de aumentar o preço e estima que para cada real de aumento no preço, 200 bonés a menos serão vendidos a cada mês. O fabricante pode produzir os bonés a um custo de R$ 4 cada. A que preço o fabricante deve vender os bonés para gerar o maior lucro possível?
A- R$16,89
B- R$18,20
C- R$15,00
D- R$17,99
E- R$13,50
Respostas
O fabricante deve vender os bonés a R$20,00 para obter o maior lucro (Sem alternativa).
Maximização da função receita
Seja p o preço de venda do boné. De acordo com o que foi dito no enunciado:
p ║ Qtd. vendida
6 6000
7 5800
8 5600
...
Ou seja, temos uma relação linear entre o preço de venda de cada boné e a quantidade de bonés vendida mensalmente. Assim sendo, podemos encontrar a quantidade vendida (f(p)) em função do preço p. Lembrando da equação reduzida da reta:
f(p) = mp + n
Encontrando o coeficiente angular m:
m = (5800 - 6000)/(7 - 6) = -200
Assim,
f(p) = -200p + n
Substituindo o ponto (6, 6000):
6000 = -200*6 + n
n = 7200
Logo, f(p) = -200p + 7200.
Podemos agora escrever a função para a receita:
R(p) = Qtd. vendida * preço
R(p) = (-200p + 7200) * p
R(p) = -200p² + 7200p
Para a despesa:
D(p) = Qtd. produzida * preço
D(p) = (-200p + 7200) * 4
D(p) = -800p + 28800
Para o lucro:
L(p) = R(p) - D(p)
L(p) = -200p² + 7200p - (-800p + 28800)
L(p) = -200p² + 8000p - 28800
Derivando e igualando a zero:
L'(p) = 0
-400p + 8000 = 0
p = 20
O fabricante deve vender os bonés a R$20,00 para obter o maior lucro (Sem alternativa).
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