Question

Na figura abaixo, dois blocos são conectados por uma corda de massa desprezível passando por uma polia de raio r = 0,250 m e momento de inércia I. O bloco no plano inclinado sem atrito está se movendo com uma aceleração constante de magnitude a = 2,00 m / s2 . Com base nesta informação, calcule o momento de inércia da polia.

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Dinâmica do Movimento de Rotação, concluímos que o Momento de Inércia da polia é de 1,18 kg m².

    A figura em anexo representa as forças que agem no sistema. Para o  bloco no plano inclinado, considere um eixo x paralelo ao plano inclinado, orientado da base ao topo. E considere um eixo y orientado de baixo pra cima. Para o bloco pendurado, considere um eixo y orientado de cima pra baixo. E para a polia, considere um eixo de rotação no seu centro, perpendicular ao plano da tela/folha. E adotaremos o sentido positivo da rotação como sendo o sentido horário.

    Seja  $T_1$  a tensão que liga o bloco 1 à polia. E seja  $T_2$ , a que liga o bloco pendurado à polia. Note que os blocos possuem a mesma aceleração, pois percorrem distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.

➜     Para o bloco no plano inclinado,   $\sum F_y=0$  e  $\sum F_x=T_1-m_1g\sin 37^\circ=m_1a \ \ \ ...(1)$

➜     Para o bloco pendurado,  $\sum F_y=m_2g-T_2=m_2a \ \ \ ...(2)$

➜     Para a polia, só há movimento de rotação, então

$\sum\tau_z=T_2r-T_1r=r(T_2-T_1)= I\alpha_z$ . Como  $a=r\alpha_z$ , então  

$\sum\tau_z=r(T_2-T_1)=Ia/r\Longrightarrow T_2-T_1=Ia/r^2 \ \ \ ...(3)$

➜     Somando (1) e (2),

$T_1-m_1g\sin 37^\circ+m_2g-T_2=m_1a+m_2a$

ou

$g(m_2-m_1\sin 37^\circ)=a(m_1+m_2)+T_2-T_1 \ \ \ ...(4)$

➜     Substituindo (3) em (4),

$g(m_2-m_1\sin 37^\circ)=a(m_1+m_2)+Ia/r^2=a(m_1+m_2+I/r^2)$

ou

$m_1+m_2+I/r^2=\dfrac{g(m_2-m_1\sin 37^\circ)}{a} \Longrightarrow I=r^2\left(\dfrac{g(m_2-m_1\sin 37^\circ)}{a}-m_1-m_2\right)$

Portanto,

  $I=0,25^2\cdot \left(\dfrac{9,8(20-15\cdot 0,6)}{2}-15-20\right)=1,18 \ kg\cdot m^2$

∴     O momento de inércia da polia é de 1,18 kg m²  ✍️

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