Question

Dados os vetores a = (2, 1, α), b = (α + 2, − 5, 2) e c = (2α, 8, α) determinar o valor de α para que o vetor (a + b) seja ortogonal ao vetor (c - a)

Answer 1

para os vetores serem ortogonais o produto escalar entre eles tem que ser 0
porque quando o produto escalar entre dois vetores é 0 
o angulo entre eles é de 90 graus..então eles serão ortogonais.

exemplo:
u = (a,b,c) 
v = (x , y ,z) 
para os dois ortogonais 
$uXv =0\\\\(a;b;c)*(x;y;z)\\\\(a*x+b*y+c*z)=0$
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$a=(2);(1);(x)\\\\b=(x+2);(-5);(2)\\\\c=(2x);(8);(x)$

o vetor (a+b) é ortogonal com o vetor (c-a)

$a=(2);(1);(x)\\\\b=(x+2);(-5);(2)\\\\A+B=(2+2+x);(1-5);(x+2)\\\\A+B=(4+x);(-4);(x+2)$
.
.
$a=(2);(1);(x)\\\\c=(2x);(8);(x)\\\\C-A=(2x-2);(8-1);(x-x)\\\\C-A=(2x-2);(7);(0)$

o produto escalar 
(a+b)X(c-a)
$((4+x);(-4);(x+2))*((2x-2);(7);(0)$

no eixo x teremos
$(4+x)*(2x-2)=8x-8+2x^2-2x=(2x^2+6x-8)$

no eixo y
$-4*7=-28$

no eixo z 
$(x+2)*0=0$

o produto escalar entre os dois vetores é
$2x^2+6x-8-28\\\\2x^2+6x-36$
podemos simplificar dividindo tudo por 2

$x^2+3x-18$

como os vetores tem que ser ortogonais então o produto escalar tem que dar 0
$x^2+3x-18 =0$

é uma equação do segundo grau para resolver é só usar bhaskara e achar o valor da incognita

a=1
b=3
c=-18

$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} = \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4*1*(-18)} }{2*1} \\\\\frac{-3\pm \sqrt{9+72} }{2} = \frac{-3\pm \sqrt{81} }{2} =\frac{-3\pm 9 }{2}\\\\\\\\x'=\frac{-3+ 9 }{2}=3\\\\x''=\frac{-3- 9 }{2}=-6$

para que o vetor (a+b) seja ortogonal com o vetor (c-a) 
α =3 ou α=-6
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tirando a prova real 
$A+B=(4+x);(-4);(x+2)\\\\C-A=(2x-2);(7);(0)$

substituindo x por 3 e calculando o produto escalar
$A+B=(4+3);(-4);(3+2)=(7);(-4);(5) \\\\ C-A=(2*3-2);(7);(0)=(4);(7);(5)\\\\(4*7)+(-4*7)+(5*0)=0$
os vetores são ortogonais ;)

substituindo por -6 

$A+B=(4-6);(-4);(-6+2)= (-2);(-4);(-4) \\\\ C-A=(2*-6-2);(7);(0)=(-14);(7);(0)\\\\(-2*-14)+(-4*7)+(-4*)\\\\28-28+0=0$
os vetores são ortogonais