ME AJUDEM POR FAVOR!!!!!!!!

Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os convidados serão dispostos em 30 filas de modo a formar um trapézio, com 8 convidados na primeira fila, 12 convidados na segunda, 16 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética.

Determine:

(a) O número de convidados que sentarão na última fila.

(b) O número máximo de convidados que poderão ser acomodados para a cerimônia.

2. Resolva a equação (2 sen x − 1)(2 cos x +√3) = 0, para 0 ≤ x < 2π.

3. Sabendo que a medida de um ângulo agudo é α, obtenha os valores de sen α e cos α de modo que tg α = 4/3

Respostas

respondido por: matematicman314

(a) Na última fila sentarão 124 pessoas.

(b) O número máximo de convidados acomodados é 1980.

2) As raízes da equação são x = 30°, 150° ou 210° (π/6, 5π/6 ou 7π/6 rad).

3) Sen α = 4/5 e cos α = 3/5.

$\dotfill$

(1)

Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é dado pela soma do anterior com uma constante chamada razão. Se a₁, a₂, a₃, ..., aₙ são os termos dessa sequência de n termos e razão r, então:

aₙ = a₁ + (n - 1) * r

Para a soma dos n termos de uma P.A. tem-se:

Sₙ = (a₁ + aₙ ) * n/2

Para a primeira questão apresentada, de acordo com o enunciado, tem-se que a₁ = 8, a₂ = 12, a₃ = 16. Assim, a razão pode ser calculada:

r = a₃ - a₂ = a₂ - a₁ = 4

Assim sendo,

(a) Na última fila estarão sentados o número de convidados referente ao 30° termo:

a₃₀ = a₁ + (30 - 1) * 4

a₃₀ = 8 + (29) * 4

a₃₀ = 124

Logo, na última fila sentarão 124 pessoas.

(b) O número máximo de convidados acomodados é a soma dos termos dessa P.A. Usando da fórmula:

S = (a₁ + aₙ ) * n/2

S₃₀ = (8 + 124 ) * 30/2

S₃₀ = (132) * 15

S₃₀ = 1980

$\dotfill$

(2)

Equações trigonométricas

Uma equação trigonométrica é tal que contém as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente e/ou suas inversas. Para resolvê-las, usa-se de vários artifícios como substituições de variáveis e/ou comparação direta.

Para a equação apresentada, façamos sen x = a e cos x = b. Logo:

(2a − 1)(2b +√3) = 0 → 2a - 1 = 0 ou 2b +√3 = 0

Com isso,

a = 1/2 → sen x = 1/2 → x = 30° ou x = 150°

b = -√3/2 → cos x = -√3/2 → x = 150° ou x = 210°

Logo, as raízes da equação são x = 30°, 150° ou 210° (π/6, 5π/6 ou 7π/6 rad).

$\dotfill$

(3)

Lembremos, primeiramente, que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Logo:

tg α = sen α/cos α = 4/3 ⇒ 3sen α = 4cos α

Como, da identidade fundamental, sen² α + cos² α = 1, logo:

cos² α = 1 - sen² α