Z é a raiz de x²+2x+2=0 que se encontra no 3 quadrante do plano Argand-Gauss. Apresente com duas casas decimais, o valor do módulo W= z⁵+z⁴+z³+z²+z+1.
Cálculos pfv!!!
Respostas
Olá
Os nomes "bonitos" são como vendedores tentando te empurrar 3 tênis quando vc só precisa comprar um rsrsrs.
Antes, vamos entender o que é o plano de Argand-Gauss:
É o plano cartesiano isso para representar geometricamente um número complexo, de modo que exibe o módulo e seu argumento (angulo).
Ok, vamos resolver aquela equação usando Bhaskara...
X² + 2X + 2 = 0
∆ = 2² - 4.1.2 = 4 - 8 = -4
Para adiantar... √∆ = √(-4)
Repare que não existe raiz quadrada de um número negativo entre os números reais. MAS, nos números complexos, sim!
√(-4) = 2i
X = (-b + 2i)/2 = (-2 + 2i)/2 = - 1 + i
X = (-b - 2i)/2 = (-2 - 2i)/2 = - 1 - i
Sabendo que Z = R + Ii, de cara... - 1 - i. Mas vou calcular...
Encontrei dois valores de X na forma a + bi, que é também chamada de forma retangular. Para encontrar a forma polar que informa o módulo e o argumento, precisamos fazer a soma vetorial da parte real com a parte imaginaria...
A primeira raiz...
Z = √[ ( -1 )² + (1)² ] = √[1 + 1] = √2
angulo = Arc tg (1/-1) = Arc tg -1 = -45⁰ que corresponde ao angulo 135⁰ no 2⁰ quadrante.
E a segunda raiz...
Z = √[ ( -1 )² + ( -1 )² ] = √[1 + 1] = √2
angulo = Arc tg (-1/-1) = Arc tg 1 = 45⁰ que corresponde ao angulo 225⁰ no 3⁰ quadrante.
Bom, O módulo de Z é igual em ambos os casos. Vamos aplicar à condição definida por W...
W = Z⁵ + Z⁴ + Z³ + Z² + Z¹ + 1
Sabendo que qualquer valor elevado a zero é igual a 1, podemos trocar o "1" por Z⁰... E reescrevendo...
W = Z⁵ + Z⁴ + Z³ + Z² + Z¹ + Z⁰
Então, como Z = √2...
W = (√2)⁵ + (√2)⁴ + (√2)³ + (√2)² + (√2)¹ + (√2)⁰
W = 4√2 + 2² + 2√2 + 2 + √2 + 1
W = 7 + 7√2
Abraços