Question

Determine a função y = f(x) sabendo que f’(x) = 3x^2−x+2 e f(0) = 3.

Answer 1

Olá

Ora, se integralizarmos a derivada, encontraremos a função inicial. Apenas vamos desfazer a derivação.

f'(X) = 3X² - X + 2

A integral de 3X² é X³/3

A integral de -X é -X²/2

A integral de 2 é 2X

Não se pode esquecer a constante C!!!

f(X) = X³/3 - X²/2 + 2X + C

Aplicando os valores informados... Dica: O termo independente numa equação de uma variavel será sempre igual ao valor informado SE está variável for igualada a zero!

3 = 0³/3 - 0²/2 + 2(0) + C

C = 3

Logo: f(X) = X³/3 - X²/2 + 2X + 3

Abraços

Answer 2

Com os cálculos finalizado podemos afirmar que antiderivada (ou primitiva) de uma função f é:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x ) = x^{3} - \dfrac{x^{2} }{2} + 2x + 3 } }$

Uma função f' é dita antiderivada (ou primitiva) de uma função f sobre um conjunto de números I se $\boldsymbol{ \textstyle \sf f' (x ) = f(x) }$x em I.

Se f é uma função derivável em I, então uma primitiva de f' é  f, assim:

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int f' ( x ) dx = f( x ) + C }$

Conclusão: Para qualquer  $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf n \neq - 1 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int x^n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases}\sf y = f( x) \\ \sf f'(x) = 3x^{2} -x + 2 \\ \sf f(0) = 3 \end{cases}$

Fazendo a integração da derivada, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ \int f' ( x ) dx = f( x ) + C }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} -x + 2)dx = 3 \int x^{2} dx - \int x dx +2 \int dx + C } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} -x + 2)dx = 3 \cdot \dfrac{x^{2+1}}{2 +1} - \dfrac{x^{1+1}}{1+1} +2 \cdot \dfrac{x^{0+1}}{0+1} + C } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} -x + 2)dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} +2 \cdot \dfrac{x^1}{1} + C } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int (3x^{2} -x + 2)dx = x^{3} - \dfrac{x^{2} }{2} + 2x + C }$

Logo:

$\large \displaystyle \mathsf{ y = f(x) }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x ) = x^{3} - \dfrac{x^{2} }{2} + 2x + C } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ f(0 ) = 0^{3} - \dfrac{0^{2} }{2} + 2 \cdot 0 + C } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 3 = 0 - \dfrac{0 }{2} + 0 + C } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 3 = 0 - 0 + 0 + C }$

$\large \displaystyle \mathsf{ C = 3 }$

Portanto a antiderivada (ou primitiva) de uma função f é:

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf f( x ) = x^{3} - \dfrac{x^2}{2} +2x + 3 }} }$

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