Question

No sistema mecânico mostrado na figura abaixo:
Dados: (m = 3kg; r = 2m; k = 700N/m; g = 9,8 m/s²)

a) Qual é a compressão mínima da mola para que o bloco complete a volta do “loop”? Considere o sistema sem atrito.
b) Considere que houve uma compressão três vezes maior que esta mínima da mola calculada no item a. Calcule a distância h, percorrida pelo bloco na rampa de inclinação 45° cujo coeficiente de atrito cinético é

Answer 1

Resposta:

a) x ≅ 0,648 m

b) h ≅ 53,32 m

Explicação:

a)

Como o sistema é sem atrito, toda a energia potencial elástica inicial foi convertida em cinética no plano e depois parte foi convertida em potencial gravitacional ao longo do loop.

A compressão mínima da mola é aquele que faz com que o bloco chegue ao topo do loop na iminência de se descolar, ou seja, com Normal = 0. Nesse caso apenas o Peso (P) será a resultante centrípeta, logo:

$F_{centripeta} = P\\\\\frac{m.v^2}{R} = m.g\\\\\frac{v^2}{2} = 9,8\\\\v^2 = 19,6$

Uma vez que sabemos a velocidade no topo, podemos calcular tanto a energia cinética quanto a energia potencial gravitacional nesse ponto, e ambas devem ser iguais à energia potencial elástica inicial, graças à lei de conservação da energia. Logo:

$E_{cinTopo} = \frac{m.v^2}{2}= \frac{3.19,6}{2}\\E_{cinTopo} = 29,4 \ J\\\\E_{potGravTopo} = m.g.h = m.g.(2R) = 3.9,8.2.2\\E_{potGravTopo} = 117,6 \ J\\\\E_{potElastica} = E_{cinTopo} + E_{potGravTopo}\\\frac{K.x^2}{2} = 29,4 + 117,6\\\frac{700.x^2}{2} = 29,4 + 117,6\\350.x^2 = 147\\x^2 = 0,42\\x \approx 0,648 \ m$

b)

Compressão 3 vezes maior significa 0,648 . 4 = 2,592 m

Vamos chamar de d a distância que o bloco anda sobre a rampa até parar. É correto dizer que:

$\frac{h}{d} = sen45 = \frac{\sqrt{2}}{2}\\\\d = \frac{2h}{\sqrt{2}} = \frac{2h.\sqrt{2}}{2}\\d = h\sqrt{2}$

Além disso, precisamos decompor o peso do bloco sobre a rampa, a fim de acharmos a componente na mesma direção da normal, ou seja, Py, pois precisaremos calcular a força de atrito:

$P_y = P.cos45\\P_y = 3.9,8.\frac{\sqrt{2}}{2}\\P_y = 14,7\sqrt{2}$

Feito isso, sabemos que o bloco se move até que toda a sua energia potencial elástica inicial seja convertida em potencial gravitacional e em trabalho da força de atrito sobre a rampa. Logo:

$E_{potElastica} = E_{potGravRampa} + \tau_{atrito}\\\frac{K.x^2}{2} = m.g.h + Fat.d\\\frac{700.(2,592)^2}{2} = 3.9,8.h + (\mu.N).h\sqrt{2}\\2351,46 = 29,4h+ (\mu.P_y).h\sqrt{2}\\2351,46 = 29,4h+ (0,5.14,7.\sqrt{2}).h\sqrt{2}\\2351,46 = 29,4h+ 14,7h\\44,1h = 2351,46\\\\h = 53,32 \ m$