Question

No sistema mecânico mostrado na figura acima, m= 3 , R= 2m e k = 700 N/M. ( g = 9,8 /²)


a) Qual é a compressão mínima da mola

para que o bloco complete a volta do “loop”?

Considere o sistema sem atrito.

b) Considere

que houve uma compressão três vezes maior que

esta mínima da mola calculada no item a. Calcule a

distância ℎ, percorrida pelo bloco na rampa de

inclinação 45° cujo coeficiente de atrito cinético é

uk = 0,5?

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Conservação da Energia Mecânica, concluímos que as respostas são a) x = 0,65 m  e b)  h = 30,18 m

Vamos considerar o momento 1 o instante em que a mola está na compressão necessária  $x$ . E o momento 2 o instante em que o bloco está no ponto mais alto da trajetória circular. Como temos apenas as forças elástica e gravitacional realizando trabalho, pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica (PCEM), as energias mecânicas nos momentos 1 e 2  são as mesmas.

No momento 1, o bloco tem energia cinética   $K_1=0$  e energia potencial elástica   $U_{el,1}=\frac{1}{2}kx^2$ . No momento 2, o bloco tem energia cinética   $K_2=\frac{1}{2}mv^2$  e energia potencial gravitacional   $U_{grav,2}=2mgR$ . O PCEM nos dá

$K_1+U_1=K_2+U_2 \Longrightarrow \frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}mv^2+2mgR \ \ \ ...(1)$

➜     Quando o bloco está fazendo o loop, ele está descrevendo um Movimento Circular Uniforme, portanto possui uma aceleração radial constante dada por   $a_{rad}=mv^2/R$ . Aplicando a Segunda Lei de Newton no bloco quando ele está no topo da trajetória circular, de acordo com a figura em anexo, temos   $\sum F_y=n+mg=mv^2/R$ .

➜     A velocidade mínima necessária para que o bloco dê a volta completa é quando  $n\rightarrow 0$ , o que nos dá  $mg=mv^2/R \Longrightarrow v^2=gR$ .

Substituindo em (1),

$\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}mgR+2mgR=\frac{5}{2}mgR$

ou    $x=\sqrt{\frac{5mgR}{k}}=\sqrt{\frac{5\cdot 3 \cdot 9,8 \cdot 2}{700}}=0,65 \ m$

➜     Agora, chamando de momento 3 o instante em que o bloco para na rampa. A Energia Mecânica não conservada, porque a força de atrito também realiza trabalha. No momento 3, temos   $K_3=0$ ,  $U_{grav,3}=mgh$  e  $W_{f}=-f_kd=-f_k\frac{h}{\sin\theta}$. O sinal negativo é porque a força de atrito age contra o deslocamento. E então,

$K_1+U_1+W_f=K_3+U_3 \Longrightarrow \frac{1}{2}kx^2=mgh+f_k\frac{h}{\sin\theta}$

ou   $h=\frac{kx^2}{2(mg+\frac{f_k}{\sin\theta})} \ \ \ ...(2)$

➜     Mas, no plano inclinado, aplicando a Primeira Lei de Newton para o bloco, temos   $\sum F_y=n-mg\cos\theta=0 \Longrightarrow n=mg\cos\theta$

Assim, a força de atrito vira   $f_k=\mu_kn=\mu_kmg\cos\theta$. Substituindo na eq. (2),

$h=\frac{kx^2}{2(mg+\mu_kmg\cot\theta)}=\frac{kx^2}{2mg(1+\mu_k\cot\theta)}$

Portanto,   $h=\frac{700(3\cdot 0,65)^2}{2\cdot 3 \cdot 9,8(1+0,5\cdot 1)}=30,18 \ m$

∴     A compressão mínima é 0,65 m. E a altura h foi de 30,18 m   ✍️

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