Question

considere a transformação linear

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

a)

{x-y = 0 -->x = y

{y+2z = 0 --> y = -2z --> z = -y/2

Os vetores do núcleo são da forma (y, y, -y/2), que é igual a (2y, 2y, -y).

T não é injetora, pois para ser injetora tínhamos que ter encontrado somente a solução(0, 0, 0) para o sistema. Como o núcleo tem apenas uma variável livre, podemos dizer que a dimensão do núcleo(N(T)  é igual a 1.

b) Teorema do núcleo e da imagem -->dimR³ = 3 = dim(N) + dim(Im)

3 = 1 +dim(Im). Logo dim(Im) = 3-1. Assim, a dim(Im) = 2, que é igual ao contradomínio(R²) da transformação. Logo a transformação é sobrejetora.

c) Só pode ser isomorfismo se a transformação for bijetora. Como é apenas sobrejetora, então não é bijetora e, portanto não pode ser um isomorfismo.

Observação: Quando existe um isomorfismo de R³ em R², dizemos que os dois espaços vetoriais são Isomorfos, ou que R³ é Isomorfo a R².