Question

Ache uma equação de cada uma das retas normais a curva 6y = 6x 3−24x que sejam paralelas a reta 3x + 24y−24 = 0.

Answer 1

a equação de cada uma das retas normais a curva 6y = 6x 3−24x que sejam paralelas a reta 3x + 24y−24 = 0, é y = $-\frac{1}{8}$x +2,917 ou y = -$\frac{1}{8}$x -2,917

Reta normal

Sabendo que a reta normal é paralela a reta 3x + 24y − 24 = 0, para que duas retas sejam paralela elas precisam apresentar a mesma inclinação, vamos então isolar o y:

3x + 24y − 24 = 0

24y = 24 - 3x

y = $\frac{24}{24} - \frac{3x}{24}$

y = $1 -\frac{1}{8}x$

vamos então isolar o y da curva 6y = 6x 3−24x:

6y = 6x³ − 24x

y = $\frac{ 6x^3 -24x}{6}$

y = x³ − 4x

Fazendo a derivada da curva:

y’ = 3x² - 4

Equação da reta:

• y = mx + b

(3x² - 4) $\frac{1}{8}$ = -13x² + 4 = 0

Δ = 0² - 4 × 3 × 4 = 48

x = (b ±√Δ) ÷ 2×3

x = (0 ±√48) ÷ 6

x = (±6,928) ÷ 6

x = ± 1,15

Voltamos para y = x³ − 4x e substituímos:

y = x³ − 4xy = (1,15)³ − 4(1,15)          

y = (-1,15)³ − 4(-1,15)y = 1,539 − 4,6            

y = -1,539 + 4,6y = - 3,061                

y = + 3,061

Equação da reta:

y = -$\frac{1}{8}$x + b

y = - 3,061                

y = + 3,061

- 3,061 = -$\frac{1}{8}$(1,15) + b          

3,061 = -$\frac{1}{8}$(-1,15) + b

b = -2,917                  

b = +2,917

∴ y = -$\frac{1}{8}$x +2,917 ;  y = -$\frac{1}{8}$x -2,917

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Bons Estudos!