Question

Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros: 10 | 11 | 11 | 11 | 12 | 12 | 12 | 12 | 13 | 13 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 a) Estimar a média e a variância da população. B) Construir um intervalo de confiança para a média sendo α = 5%

Answer 1

Tendo conhecimento dos conceitos de Estatística, após realizar os cálculos foi possível concluir que:

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A) a média é 13,13 e a variância é 2,05

B) o intervalo de confiança está entre 12,62 e 13,64.

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Veja a seguir a resolução da questão:

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• A) Estimar a média e a variância da população.

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➯ Média:

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Soma dos diâmetros de cada peça = 394

Quantidade de peças = 30

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$\large\text{ \sf{M~=~\dfrac{394}{30}~=~\boxed{\boxed{\sf{13,13}}}} }$

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➯ Variância:

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Encontramos que a média é 13,13 (vamos usar agora esse valor para calcular a variância).

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Desvios em relação à média elevado ao quadrado:

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$\large\text{ \sf{10~-~13,13~=~(-3,13)^{2}~=~9,80} }$

$\large\text{ \sf{11~-~13,13~=~(-2,13)^{2}~=~4,54} }$

$\large\text{ \sf{11~-~13,13~=~(-2,13)^{2}~=~4,54} }$

$\large\text{ \sf{11~-~13,13~=~(-2,13)^{2}~=~4,54} }$

$\large\text{ \sf{12~-~13,13~=~(-1,13)^{2}~=~1,28} }$

$\large\text{ \sf{12~-~13,13~=~(-1,13)^{2}~=~1,28} }$

$\large\text{ \sf{12~-~13,13~=~(-1,13)^{2}~=~1,28} }$

$\large\text{ \sf{12~-~13,13~=~(-1,13)^{2}~=~1,28} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{13~-~13,13~=~(-0,13)^{2}~=~0,02} }$

$\large\text{ \sf{14~-~13,13~=~(0,87)^{2}~=~0,76} }$

$\large\text{ \sf{14~-~13,13~=~(0,87)^{2}~=~0,76} }$

$\large\text{ \sf{14~-~13,13~=~(0,87)^{2}~=~0,76} }$

$\large\text{ \sf{14~-~13,13~=~(0,87)^{2}~=~0,76} }$

$\large\text{ \sf{14~-~13,13~=~(0,87)^{2}~=~0,76} }$

$\large\text{ \sf{15~-~13,13~=~(1,87)^{2}~=~3,50} }$

$\large\text{ \sf{15~-~13,13~=~(1,87)^{2}~=~3,50} }$

$\large\text{ \sf{15~-~13,13~=~(1,87)^{2}~=~3,50} }$

$\large\text{ \sf{16~-~13,13~=~(2,87)^{2}~=~8,24} }$

$\large\text{ \sf{16~-~13,13~=~(2,87)^{2}~=~8,24} }$

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A soma de todos esses resultados é: 59,47

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Por fim, para saber qual é a variância vamos dividir esse resultado de cima ( 59,47 ) pela quantidade de peças ( 30 ) e diminuir pelo número 1:

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$\large\text{ \sf{Variancia~=~\dfrac{59,47}{30~-~1}~=~\dfrac{59,47}{29}~=~\boxed{\boxed{\sf{2,05}}}} }$

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• B) Construir um intervalo de confiança para a média sendo α = 5%.

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Como o nível de significância é de 5%, então usaremos 95% para intervalo de confiança, que resulta em Z = 1,96.

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Fórmula para calcular o intervalo de confiança:

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$\Large\text{ \sf{IC~=~\mu~\pm~z~\times~\dfrac{s}{\sqrt{n}}} }$

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Com ela iremos calcular os limites máximo e mínimo.

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Sendo que:

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n = amostra = 30 peças

μ = média = 13,13

z = distribuição normal para 95% = 1,96

s = desvio padrão = $\large\text{ \sf{\sqrt{vari\hat{a}ncia}~=~\sqrt{2,05}~=~1,43} }$

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➯ Limite mínimo:

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$\large\text{ \sf{\mu~-~z~\times~\dfrac{s}{\sqrt{n}}} }\\\\\\\large\text{ \sf{13,13~-~1,96~\times~\dfrac{1,43}{\sqrt{30}}} }\\\\\\\large\text{ \sf{13,13~-~1,96~\times~\dfrac{1,43}{5,48}} }\\\\\\\large\sf{13,13~-~1,96~\times~0,26}\\\\\large\sf{13,13~-~0,51}\\\\\large\text{ \boxed{\boxed{\sf{12,62}}} }$

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➯ Limite máximo (só mudar o sinal de " - " para " + "):

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$\large\text{ \sf{\mu~+~z~\times~\dfrac{s}{\sqrt{n}}} }\\\\\\\large\sf{13,13~+~0,51}\\\\\large\text{ \boxed{\boxed{\sf{13,64}}} }$

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Portanto, a média é 13,13, a variância é 2,05 e o intervalo de confiança está entre 12,62 e 13,64.

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