Question

1) Encontre as raízes das funções abaixo e as plote, manualmente.

a) f(x) = 3x+2

b) g(x) = x² - 6x + 5


2) Dada a função recíproca f(x) = 1/x³, plote, manualmente, a função dada.


3) Esboce, manualmente, os gráficos das funções a seguir. Pontue se é função par ou ímpar.

a) f(x) = x4

b) f(x) = x−3


4) Considere o gráfico a seguir, da função f(x) = -1/x. Qual seu Domínio e Imagem? Quando a função e crescente e/ou decrescente? Anexo

5) anexo 2, preciso so da questão B

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Answer 1

Resposta:

1 a ) x = - 2/3         b)  S = { 1 ; 5 }  

2) gráfico anexo 2

3) gráfico em anexo 3

a) função par               b ) função ímpar

4)

Domínio = { x ∈ |R / x = 0 }

Imagem = { x ∈ |R / x = 0 }

Sempre crescente

5 ) $10^{-8}$

Explicação passo a passo:

1 )  a )

f (x) = 3x + 2      ( ver gráfico anexo 1 )

3x + 2 = 0

3x = - 2

3x/3 = -2/3

x = - 2/3      raiz da função      

 

É uma função do 1º grau. O gráfico destas funções é uma reta.

Para construir gráficos de retas são necessários apenas dois

pontos.

Já tenho um ponto

x = -2/3      f(- 2/3) = 0                   Ponto A ( -2/3 ; 0 )          

x = 0           f(0) = 3 * 0 + 2 = 2      Ponto B ( 0 ; 2 )

     

1 b )

g(x) = x² - 6x + 5         ( ver gráfico anexo 1 )

Para encontrar os zeros vou usar a Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a            Δ = b²- 4 * a * c      a ≠  0

a =   1

b = - 6

c =   5

Δ =  ( - 6 )² - 4 * 1 * 5  = 36 - 20 = 16  

√Δ = √16 = 4

x1 = ( - ( - 6 ) + 4 ) / (2*1 )

x1 = ( 6 + 4 ) / 2

x1 = 10/2

x1 = 5

x2 =  ( - ( - 6 ) - 4 ) / (2*1 )

x2 = ( + 6 - 4 ) / 2

x2 = 2/2

x2 = 1

S = { 1 ; 5 }      

Para marcar esta função num gráfico ( parábola ) , já temos :

→ as raízes ( x1 e x2 ) ;  

que estão nos pontos  C ( 1 ; 0 )   e   D = ( 5 ; 0 )

Para fazer o esboço do gráfico, necessitamos de dois pontos

importantes  

→ vértice da parábola ( V )

→ interseção com eixo do y  ( IY )

Fórmula de Cálculo do Vértice

V ( - b / 2a  ;  - Δ / 4a )

Calculo da coordenada em x

x = ( - (-6 ) ) / ( 2* 1 )  = 6/2 = 3  

Calculo da coordenada em y

y = - 16 / ( 4 * 1 ) = - 4

Vértice  ( 3 ; - 4)

Cálculo do ponto interseção eixo do y

Este ponto é sempre de fácil cálculo

Será ( 0 ; c )

IY = ( 0 ; 5 )  

2 )

f(x) = 1 / x³     ( ver gráfico anexo 2 )

Esta função não tem imagem no ponto x = 0 porque 1/0 não

tem significado.

1/0 = ∞

Diz-se que x = 0 é uma assíntota vertical

Para fazer gráfico escolho dois pontos à esquerda de x = 0

x = - 1      f ( - 1) =  1/(-1)³ = - 1                 Ponto A ( - 1 ; - 1 )

x = - 2     f (- 2 ) = 1 / ( - 2 )³ = - 1/8        Ponto B ( - 2 : - 1/8 )

outros dois à direita de x = 0        

x = 1    f (1) = 1/1³ = 1             Ponto C ( 1 ; 1 )

x = 2   f (2) = 1/2³ = 1/8         Ponto D ( 2 ; 1/8 )  

Observação 1 →  Quando x caminha para - ∞ ou para + ∞ ,

embora o gráfico parece que toca no eixo do x, é apenas

ilusão.

Vai ficando muito perto desse eixo, mas nunca o intersecta .            

     

3 ) a )  

$f(x)= x^4$    

( ver gráfico anexo 3 ; comparar com anexo 2 )

x = 0       $f(0) =0^4=0$                    Ponto A ( 0 ; 0 )

x = - 1      $f(-1) =(-1)^4=1$             Ponto B ( - 1 ; 1 )

x = - 2     $f(-2) =(-2)^4=16$           Ponto C ( - 2 ; 16 )

x = 1        $f(1) =(1)^4=1$                  Ponto D ( 1 ; 1 )

x = 2      $f(2) =(2)^4=16$                 Ponto E ( 2 ; 16 )    

Observação 2 → Esta função tem conjunto imagem [ 0 ; + ∞ ).

Por isso todas as imagens são positivas e, embora o gráfico

pareça que tem vários pontos a tocar no eixo do x , apenas um

ponto toca o eixo do x, Ponto A ( 0 : 0 )  

Esta função é par.

Observação 3 → Função par

Chama-se função par aquela que é simétrica em relação ao

eixo do y

3 b)

$g(x)=x^{-3}$  

( ver gráfico anexo 3  e comparar com anexo 2)

Podemos mudar o sinal ao expoente.

Inverte-se a base e muda-se o sinal

$x^{-3} =(\dfrac{x}{1}) ^{-3} =(\dfrac{1}{x})^3 =\dfrac{1}{x^3}$    

Que é a função do exercício 2.

Esta função é ímpar.

Observação 4 → Função ímpar

Chama-se função ímpar aquela que é simétrica em relação à

origem ( 0;0 )  

4 )

f (x ) = - 1/x

Domínio = { x ∈ |R / x = 0 }

Lê-se → Todos os valores de |R exceto o zero

Imagem = { x ∈ |R / x = 0 }

A função é sempre crescente.

( exceto no ponto (0 ; 0 ) que não pertence ao domínio )

5 b)

$\dfrac{\sqrt{a} }{b*c}$

log a = - 2         log b = 3     log c = 4

Observação 5 → Base de um logaritmo

Quando nada aparece indicada para base, é considerado o

valor de base 10.

Exemplo:

$log_{10} (a)=-2$

$log_{10} (a)=-2 ....equivalente.... a= 10^{-2}$

Observação 6 →  Definição de logaritmo

$log_{a} (b)=x ....equivalente.... b= a^{x}$

Pela definição de logaritmo.

Cálculo de  log a = - 2

$log_{10} (a)=-2 ....equivalente.... a= 10^{-2}$

$\sqrt{10^{-2} } =\sqrt[2]{10^{-2} } =10^{\dfrac{-2}{2} } =10^{-1}$

Transformei um radical numa potência fracionária.

Cálculo de  log b = 3  

$log_{10} (b)=3 ....equivalente.... b= 10^{3}$

Cálculo de  log c = 4  

$log_{10} (c)=4 ....equivalente.... c= 10^{4}$

Resolução da expressão:

$\dfrac{\sqrt{a} }{b*c}=\dfrac{10^{-1} }{10^3*10^4} =\dfrac{10^{-1} }{10^{3+4} } =\dfrac{10^{-1} }{10^{7} } =10^{(-1-7)} =10^{-8}$

Observação 7 → Produto potências com a mesma base

Manter a base. Somar os expoentes

Observação 8 → Divisão potências com a mesma base

Manter a base. Subtrair os expoentes

Bons estudos

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( * ) Multiplicação     ( / ) divisão       ( ∈ ) pertence a

( |R ) conjunto números reais        ( / )  exceto

( ≠ )  diferente de        ( ∞ ) infinito

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.