Question

Prove que o produto de duas frações inversas entre si, resulta sempre na unidade.

Answer 1

Para provar isso é bastante fácil

• Primeiro temos que saber o que o produto de duas frações inversas

produto de frações inversas são frações que apresentam os mesmo números mas, com posições trocadas no denominador e no numerador

Por exemplo:

$\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{2}{5}$    $\dfrac{10}{9}\cdot\dfrac{9}{10}$    $\dfrac{305}{243}\cdot\dfrac{243}{305}$

Como queremos provar que essa multiplicação dará uma unidade( no caso 1) vamos chamar esses números de X e Y

$\dfrac{X}{Y}\cdot\dfrac{Y}{X}$     ( Sendo X e  Y diferentes de 0)

Vamos continuar o processo de multiplicação de frações

$\dfrac{X}{Y}\cdot\dfrac{Y}{X}\Rightarrow \dfrac{X\cdot Y}{Y\cdot X} \Rightarrow \boxed{\dfrac{XY}{YX} }$

Tendo em mente que a ordem dos produto não altera o resultado podemos dizer que

$XY=YX$ então temos o numerador é o denominador sendo os mesmos  valores

Tendo isso em mente podemos aplicar a propriedade  de numerador e denominador iguais em frações

• essa propriedade diz que qualquer número dividido por ele mesmo da 1 tirando o zero

$\boxed{\dfrac{A}{A} =1}$

Então assim provamos que  $\boxed{\dfrac{XY}{YX} =1}$

Assim concluirmos que podemos substituir X e Y por qualquer número ( com exceção do 0) que sempre dará 1  

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Answer 2

✅ Após realizar a demonstração, concluímos que o produto entre duas frações inversas, entre si, sempre, resultará na:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Unidade\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a proposição:

 "O produto de duas frações inversas entre si, resulta na unidade"

Reescrevendo a proposição na forma "se/então", temos:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underbrace{Se\:A\: e\: B\: s\tilde{a}o\: frac_{\!\!,}\tilde{o}es\:inversas\:entre\:si}_{\bf Hip\acute{o}tese=p},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:A\cdot B = 1}_{\bf Tese = q} \end{gathered} }$

Para provar esta proposição podemos utilizar a técnica de demonstração "direta". Por meio desta técnica devemos provar que a hipótese implica a tese, ou seja:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} p\Longrightarrow q\end{gathered}$

Para isso irei utilizar algumas manipulações algébricas. Além disso, utilizarei como conjunto universo os Racionais, ou seja:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cup = \mathbb{Q}\end{gathered}$

Então, sejam os números:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} m\in\mathbb{Q}\:\:e\:n\in\mathbb{Q}\end{gathered}$

Se:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} A = \frac{m}{n} \end{gathered}$

E, sabendo que "B" é a fração inversa de "A", então, temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} A\cdot B = A\cdot \frac{1}{A} \end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{m}{n} \cdot \frac{1}{\frac{m}{n} } \end{gathered} }$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{m}{n} \cdot1\cdot\frac{n}{m} \end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{m\cdot n}{n\cdot m} \end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{m\cdot n}{m\cdot n} \end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$

Portanto, está provado que o produto entre duas frações inversas, entre si, resulta sempre na unidade.

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