Question

Considere a funçao
Preciso de ajuda

Answer 1

Temos que:

$f(1) = 3 \: \: \: e \: \: \: \int \limits_{0}^{1} f(t)dt = 4$

Para iniciar o cálculo, vamos primeiro derivar a função que representa g(x).

$g(x ) = (G(x)) {}^{2} \: \: \to \: \: \frac{d}{dx} g(x) = \frac{d}{dx}((G(x)) {}^{2}$

Note que para derivar a expressão após a igualdade é necessário ultilizar a regra da cadeia.

$\: \: 1) \: \: \: \frac{d}{dx} g(x ) = 2.G(x). \frac{d}{dx} G(x)$

Vamos deixar essa expressão reservada. Pelo cálculo feito anteriormente, é possível observar que é necessário do valor da derivada de G(x), mas sabemos que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: G(x) = \int \limits_{0}^{x} f(t)dt$

Derivando a expressão acima, obtemos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} G(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_{0}^{x} f(t)dt$

A derivada da integral definida é basicamente a aplicação dos limites de integração na função multiplicado pela derivada de ambos.

• Teorema:

$\boxed{\frac{d}{dx} \int \limits_{g(x)}^{h(x)} f(t)dt = f(h(x)). \frac{d}{dx} h(x) - f(g(x)). \frac{d}{dx}g(x)}$

Aplicando a ideia deste Teorema no nosso problema, temos que:

$\frac{d}{dx} G(x) = f(x). \frac{d}{dx} x - \cancel{f(0). \frac{d}{dx}0 }\\ \\ \frac{d}{dx} G(x) = f(x)$

Substituindo na relação que deixamos reservada:

$\: \: \: \: \: \: 2) \: \frac{d}{dx} g(x) = 2.G(x).f(x)$

A pergunta da questão é para determinamos o valor de g'(1), substituindo a informação, isto é, que o valor de x é 1, ficamos com:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} g(1) = 2.G(1).f(1)$

O valor de f(1) é conhecido, mas G(1) não, mas para descobrir basta substituir x = 1 na expressão dada no enunciado para a função G(x).

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: G(1) = \int \limits_{0}^{1} f(t)dt$

Ainda no enunciado o valor da integral no segundo membro é fornecido, então:

$G(1) = \int \limits_{0}^{1} f(t)dt \: \: \to \: \: G(1) = 4$

Por fim, basta substituir todas as informações requeridas na expressão montada.

$\frac{d}{dx} g(1) = 2.4.3 \: \: \to \: \: \boxed{\frac{d}{dx} g(1) = 24 }$

Espero ter ajudado