Question

Urgenteee
Calcule o comprimento de arco da curva r = 3θ^2 de θ = 0 at ́e θ = 2π/3.

Answer 1

Para calcular o comprimento de arcos de curvas, utilizamos a seguinte expressão:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: C = \int\limits_{t_1}^{t_2}||r'(t)|| dt$

Como a questão nos dá os dados em coordenadas polares, temos que fazer uma modificação nesta expressão acima. Como sabemos, a norma da derivada é dada por:

$r'(t) = \: < x'(t) , y'(t) > \\ | |r'(t)| | = \sqrt{( x'(t)) {}^{2} + ( y'(t)) {}^{2} }$

Substituindo no integrando:

$C = \int\limits_{t_1}^{t^2}\sqrt{( x'(t)) {}^{2} + ( y'(t)) {}^{2} } dt$

Em coordenadas polares x e y dão dados de uma forma diferente, como é mostrado abaixo, isto é, podemos fazer a derivação de ambas e substituir na expressão do comprimento.

$\begin{cases} x = r \: . \: \cos( \theta) \: \: \to \: \:x' = r' . \cos( \theta) - r. \sin( \theta)\\ y = r \: . \: \sin( \theta) \: \: \to \: \:y' =r'. \sin( \theta) + r.\cos( \theta)\end{cases}$

Substituindo em C:

$C = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(r. \cos( \theta) - r. \sin( \theta)) {}^{2} + (r. \sin( \theta) + r. \cos( \theta)) {}^{2} } \: \: dt \\ \\ C = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{((r' )^{2} .( \cos {}^{2}( \theta) + \sin {}^{2} ( \theta)) + r {}^{2} .( \sin {}^{2} ( \theta) + \cos {}^{2} ( \theta)) } \: \: dt \\ \\ \boxed{C = \int\limits_{ \theta_1}^{ \theta_2}\sqrt{(r' )^{2} + r {}^{2} }d \theta}$

Agora basta substituir os dados do nosso problema nesta expressão acima.

$C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} }\sqrt{((3 \theta {}^{2} )') {}^{2} + (3 \theta^{2} )^{2} } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{ (6 \theta) {}^{2} + 9 \theta^{4} } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{36 \theta {}^{2} + 9 \theta {}^{4} } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{9 \theta {}^{2}.(4 + \theta ^{2} ) } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } 3 \theta \sqrt{4 + \theta {}^{2} } \: d \theta$

Resolvendo por substituição de variável:

$n = 4 + \theta {}^{2} \: \: \to \: \: \frac{dn }{d \theta} = 2 \theta \: \: \to \: \frac{dn}{2} = \theta \: d \theta$

Substituindo as informações:

$C =3 \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{n} . \frac{dn}{2} \: \: \to \: \: C = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{n} \: dn \\ \\ C = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} }n {}^{ \frac{1}{2} } dn \: \: \to \: \: C = \frac{3}{2} . \frac{n {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1 } \bigg | _ {0}^{ \frac{2\pi}{3} } \\ \\ C = n {}^{ \frac{3}{2} } \bigg | _ {0}^{ \frac{2\pi}{3} } \: \: \to \: \: \boxed{C =(4 + \theta^{2} ) {}^{ \frac{3}{2} } \bigg | _ {0}^{ \frac{2\pi}{3} } }$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$C = \left(4 +\left( \frac{2\pi}{3}\right) ^{2} \right) ^{ \frac{3}{2} } - (4 + (0) {}^{2} ) {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ C = \left(4 + \left( \frac{4\pi {}^{2} }{9} \right)\right)^{ \frac{3}{2} } - 4 {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ \boxed{C \approx 16,29 \: u.a}$

Espero ter ajudado