Question

Qual o domínio da função $<var>\frac{\sqrt{6+2x}}{x^{2} - 4x + 3}</var>$ ?

Answer 1

domínio são os valores que voce pode atribuir ao x

neste caso temos duas restrições
quando vc substituir x no numerador o resultado não pode ser negativo
porque não existe raíz quadrada de numero negativo

então $6+2x \geq 0\\\\2x \geq 0-6\\\\2x \geq -6\\\\x \geq \frac{-6}{2} \\\\ x \geq -3$

x tem que ser maior ou igual a -3  
note que quando x = -3 fica 
√ (6*2-3) = √0 = 0

quando x é menor que -3 
√6*2-4 =√-2 ...e não existe raíz de numero negativo
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a segunda restrição é que não pode ter 0 no denominador 
$x^2-4x+3 \neq 0$
a equação do denominador tem que ser diferente de 0

se vc utilizar bhaskara e calcular as raízes vai achar os valores que fazem dar 0 nessa equação
e esses são os valores que não podemos atribuir a x
$x^2-4x+3 =0$

a=1
b=-4
c=3

Δ=b²-4*a*c
Δ=-4²-4*1*3
Δ= 16 -12
Δ= 4 

$\frac{-b\pm \sqrt{delta} }{2*a} = \frac{-(-4)\pm \sqrt{4} }{2*1}\\\\ \frac{4\pm 2}{2}\\\\ x'= \frac{4+2}{2} =3\\\\x''= \frac{4-2}{2} =1$
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com isso descobrimos que x também não pode ser 3 e não pode ser 1

na primeira resolução vimos que x≥-3
na segunda vimos que x não pode ser 1 nem 3

então os valores que x pode atribuir são (-3,-2,-1,0,2 e qualquer numero maior que 3)

{ x∈R / (-3 ≤x <1); (1<x<3) e (x>3) }
 

Answer 2

Numerador:

I) 

$6+2x\geq0\\2x\geq-6\\\boxed{x\geq-3}$


Denominador:

II)

$x^2-4x+3\neq0\\(x-1)(x-3)\neq0\\\boxed{x\neq1}\\\boxed{x\neq3}$


 O conjunto-solução é dado por: $S=\left \{ x\in\mathbb{R}|x\geq-3\;e\;x\neq1\;e\;x\neq3 \right \}$