Question

Determine os valores reais de p de modo que se verifiquem simultaneamente as igualdades abaixo.

Answer 1

Para encontrar os valores reais de p, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria.

$\: \: \: \: \: \: \bullet \sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) = 1$

Substituindo os valores informados na questão:

$\: \: \: \: \left( \frac{ \sqrt{p + 1} }{p} \right)^{2} + \left( \frac{1}{p} \right) {}^{2} = 1 \\ \\ \frac{( \sqrt{p + 1}) {}^{2} }{p {}^{2} } + \frac{1 {}^{2} }{p {}^{2} } = 1 \\ \\ \frac{p + 1 + 1}{p {}^{2} } = 1 \\ \\ p {}^{2} - p - 2 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau.

$p = \frac{ 1 \pm \sqrt{( - 1) {}^{2} - 4.1.( - 2) } }{2.( - 1)} \\ \\ p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8} }{ - 2} \\ \\ p = \frac{1 \pm \sqrt{9} }{ - 2} \: \to \: \boxed{ \begin{cases}p_{1} = - 2 \\ p_{2} = 1\end{cases}}$

Espero ter ajudado