Question

Observe abaixo a matriz completa associada a um sistema linear 3 × 3. M110614H6 Nessa matriz, a primeira coluna corresponde aos coeficientes de x; a segunda coluna, aos de y; e a terceira, aos de z. Na última coluna, estão os termos independentes. Qual é o terno ordenado (x, y, z) solução desse sistema? ( 1 , 3 2 , 5 ). ( 1 , 1 , 6 ). ( 3 , 3 2 , 5 ). ( 4 , 4 , − 2 ). ( 5 , 1 , 6 )

Answer 1

O terno ordenado (x, y, z) solução desse sistema é igual a: Alternativa C: $3, \dfrac{3}{5}, 5$.

Resolução de Matriz com sistema linear 3x3.

Para achar o terno ordenado (x, y, z) solução pode-se escalonar o sistema, como um sistema de equações, considerando que a primeira coluna corresponde aos coeficientes de x, segunda coluna, aos de y, a terceira, aos de z e a última coluna são os termos independentes.

$\begin{cases} \;\;\;\;\;x +2 y - z =1\\-2x - 2y + 2z=1\\\;\;\;5x +4y - 3z=6\end{cases}$

Agora, temos que resolver esse sistema de Equações, para o qual podemos aplicar o método de simplificação, o qual consiste em multiplicar as equações por um número que resulte em termos iguais aos da equação inferior:

Primeiro vamos a multiplicar a primeira equação por 2 e logo somar com a segunda equação, e depois multiplicar a primeira linha por -5 e somar com a terceira equação;

                                $\begin{cases} \;\;\;\;\;(x +2 y - z =1)\;\;*2\\-2x - 2y + 2z=1\\\;\;\;5x +4y - 3z=6\end{cases}$

                                $\begin{cases} \;\;\;2x +4y - 2z =2\\-2x - 2y + 2z=1\\\;\;\;5x +4y - 3z=6\end{cases}\\\\\\\begin{cases} \;\;\;\;\;\;\;\;\;+4y \;\;\;\;\;\;\;\ =2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;- 2y\;\;\;\;\;\;\;\;=1\\\;\;\;5x +4y - 3z=6\end{cases}\\\\\\\begin{cases} \;\;\;\;\;\;\;\;\;+2y\;\;\;\;\;\;\; =3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; -6y + 2z=1\end{cases}$

Achamos o valor de y isolando ele da primeira equação:

                                              $2y = 3\\\\\boxed{y = \frac{3}{2}}$

Logo inserimos ele na segunda na equação restante para achar o valor de z:

                                                 $-6 * \dfrac{3}{2} +2z = 1\\\\-9 + 2z = 1\\\\z = \frac{1 + 9}{2}\\\\\boxed{z = 5}$

Agora substituímos o valor de z e o de y na primeira equação para achar o valor de x:

                                            $x + 2 * \dfrac{3}{2} -5 = 1\\\\x + 3 - 5 = 1\\\\x = 1 + 5 -3\\\\\boxed{x = 3}$

Assim, pode-se concluir que terno ordenado (x, y, z)  é igual a : $3, \dfrac{3}{5}, 5$.

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