Question

Calcule a seguinte integral.
(Dica: Integração por Substituição Trigonométrica)
OBS: Todo o denominador se encontra no interior da raiz.

∫ x / (√ (3 -2x -x²) dx =

Answer 1

Resposta:

Segue em anexo

Explicação passo a passo:

Answer 2

Resposta:  $-\,\sqrt{3-2x-x^2}-\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1+x}{2}\right)+C.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida:

    $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}\,dx$

Primeiramente, devemos completar os quadrados na expressão que está na raiz quadrada, e reescrevê-la como uma soma ou diferença de quadrados.

Reescreva 3 como 4 - 1:

    $\displaystyle=\int \frac{x}{\sqrt{4-1-2x-x^2}}\,dx\\\\\\=\int \frac{x}{\sqrt{4-(1+2x+x^2)}}\,dx\\\\\\=\int \frac{x}{\sqrt{2^2-(1+x)^2}}\,dx\qquad\mathsf{(i)}$

Faça a seguinte substituição trigonométrica:

    $\begin{array}{lcl}1+x=2\,\mathrm{sen\,}t&\quad\Longrightarrow\quad&x=2\,\mathrm{sen\,}t-1\\ &&dx=2\cos t\,dt \end{array}$

com $-\dfrac{\pi}{2}\le t\le \dfrac{\pi}{2}.$

Além disso, temos

    $\sqrt{2^2-(1+x)^2}=\sqrt{2^2-(2\,\mathrm{sen\,}t)^2}\\\\\\\Longrightarrow\quad \sqrt{2^2-(1+x)^2}=\sqrt{2^2-2^2\,\mathrm{sen^2\,}t}\\\\\\\Longrightarrow\quad \sqrt{2^2-(1+x)^2}=\sqrt{2^2\cdot (1-\mathrm{sen^2\,}t)}\\\\\\\Longrightarrow\quad \sqrt{2^2-(1+x)^2}=\sqrt{2^2\cos^2 t}\\\\\\\Longrightarrow\quad \sqrt{2^2-(1+x)^2}=2\cos t}$

Substituindo em (i), a integral fica

    $\displaystyle=\int\frac{2\,\mathrm{sen\,}t-1}{2\cos t}\,\cdot 2\cos t\,dt\\\\\\=\int(2\,\mathrm{sen\,}t-1)\,dt\\\\\\=\int\,2\,\mathrm{sen\,}t\,dt -\int 1\,dt\\\\\\=-\,2\cos t-t+C\qquad\mathsf{(ii)}$

Para voltar à variável x, basta utilizarmos as relações da substituição trigonométrica:

    $1+x=2\,\mathrm{sen\,}t\quad\Longrightarrow\quad t=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1+x}{2}\right)\\\\\\\sqrt{2^2-(1+x)^2}=2\cos t\quad \Longrightarrow\quad -\,2\cos t=-\sqrt{2^2-(1+x)^2}$

e substituindo em (ii), chegamos ao resultado da integral:

    $=-\,\sqrt{2^2-(1+x)^2}-\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1+x}{2}\right)+C\\\\\\\\=-\,\sqrt{3-2x-x^2}-\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1+x}{2}\right)+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\'e~a~resposta.}$

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Bons estudos!