Question

O intervalo de convergência da série
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Σ,
In (n + 1).
é dado por
Escolha uma opção:
Ο(-1, 1).
O ( 1, 1).
O [-1,1).
ΟΙ 1, 1).
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Answer 1

✅ Por meio dos critérios de convergência para séries em geral, o intervalo de convergência para a série $\textstyle\rm \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{ln(n+1)}$ é $\rm [-1;\,1)$

 

⚠️ Denomina-se por série, a soma dos infinitos termos de uma sequência infinita de termos. Seja $\rm \{a_n\}_{n=0}^{+\infty}$ uma sequência infinita, então, sua série é denotada por $\textstyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$.

 

☁️ Convergência absoluta e critério da razão:

Dada uma série $\textstyle\rm \sum a_n$, tiramos as seguintes conclusões:

$\large\underline{\boxed{\boxed{ \qquad \begin{array}{lr}\displaystyle\rm i) ~~ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1; \\\\\displaystyle\rm ii) ~~ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1 ~ou~ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \infty; \\\\\displaystyle\rm iii)~~ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1. \end{array}\qquad}}}$

 ❏ Em que:

• i) A série converge;
• ii) A série diverge;
• iii) Não se pode concluir nada a respeito.

 

☁️ Critério de Leibniz:

Seja $\textstyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$ uma série alternada com o termo geral $\rm a_n > 0$, então:

$\large\underline{\boxed{\boxed{\qquad\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n ~ converge~ \Leftrightarrow \\\\\rm i)~~ a_{n+1} \leqslant a_n ~~ \forall ~n \\\\\rm ii) ~~ \displaystyle\rm\lim_{n\to+\infty} a_n = 0 \end{array}\qquad}}}$

 

☁️ Séries de potências:

Chamamos de séries de potências, toda série escrita na forma

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (x- x_0)^n = c_0 + c_1 (x-x_0 ) + c_2 (x-x_0 )^2 + \ldots \qquad}}}$

a qual dizemos ser centrada no ponto $\rm x_0$.

 

ℹ️ Nos problemas relacionados a séries desse tipo, estaremos preocupados com os valores de $\rm x$ que fazem a série convergir.