Question

Seja uma função contínua em [ 1 , 4 ]. Sabendo que f ( 1 ) = 3 , f ( 4 ) = 5 e ∫ 1 4 f ( x ) d x = 3 , determine o valor de: ∫ 1 4 x f ′ ( x ) d x

Answer 1

Quer-se resolver a integral:

$14\int x\cdot f'(x)dx\ (1)$

Para isso, vamos utilizar o método de integração por partes definido na expressão seguinte:

$\int u\ dv = u\cdot v - \int v\ du\ (2)$

Na integral que queremos resolver, (1), vamos definir então que

$u = x$, e

$dv = f'(x)dx$.

De onde obtemos que:

$du = dx$, e

$v = \int f'(x)dx = f(x)$ .

Logo, a equação (2), pode ser escrita como sendo:

$\int x\cdot f'(x)dx = x\cdot f(x) - \int f(x)dx$,

multiplicando toda equação por 14, e avaliando as integrais no intervalo [1,4]:

$14\int\limits^{4}_{1} x\cdot f'(x)dx = 14[x\cdot f(x)]\Big|^{4}_{1} - 14\int f(x)dx\\\\14\int\limits^{4}_{1} x\cdot f'(x)dx = 14[4\cdot f(4) - 1\cdot f(1)] - 14\int f(x)dx$

Substituindo os valores dados pela questão, f(4) = 5, f(1) = 3 e 14 ∫ f(x)dx = 3, temos:

$14\int\limits^{4}_{1}x\cdot f'(x)dx = 14\cdot 17 - 3 = 238 - 3 = 235\\\\\therefore 14\int\limits^{4}_{1}x\cdot f'(x)dx = 235$