Question

5. Considere a soma a seguir: 2+4+6+8+... +2n Qual das sentenças abaixo determina o valor desta soma quando n=100?
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Answer 1

A soma quando n=100 é igual a 10100.

Para chegarmos a esta resposta, precisamos entender que a sequência dada na questão é uma progressão aritmética ou P.A., que é uma sequência de números onde a diferença entre dois números consecutivos é sempre igual. Essa diferença se chama razão, ou r.

Encontramos a solução seguindo o passo a passo a seguir.

1. Encontrar o último termo da sequência

De acordo com o enunciado, n = 100 e o último termo é 2n, ou seja:

2*100=200

2. Encontrar o número de termos da sequência

Para somarmos todos os termos, primeiramente devemos encontrar o número total de termos da sequência descobrindo o valor de n através da Fórmula do Termo Geral de uma P.A.:

An = A1 + (n-1) * r  

Aplicando os valores na fórmula:

• An é o último termo, ou seja, 200;
• A1: primeiro termo da sequência, ou seja, 2;
• n: posição do último termo;
• r: razão da P.A. (diferença entre qualquer termo e o seu termo anterior, que é sempre constante). No caso em questão, a razão é igual a 2;

Substituindo:

• 200 = 2 + (n-1) * 2
• 200 = 2 + 2n - 2
• 2n = 200
• n = 100

Somando todos os termos da sequência

Como já descobrimos o número de termos da progressão, agora é hora de aplicarmos todos os valores na fórmula da Soma de termos da P.A.

$Sn = \frac{(a1+an)*n}{2}$

Aplicando os valores na fórmula:

• An é o último termo, ou seja, 200;
• A1: primeiro termo da sequência, ou seja, 2;
• n: posição do último termo, ou seja, 100;

Substituindo:

$Sn = \frac{(2+200)*100}{2} \\\\Sn = \frac{202*100}{2} \\\\Sn = \frac{20200}{2}$

Sn = 10100

Entenda mais sobre Progressão Aritmética aqui: https://brainly.com.br/tarefa/38666058