Question

Seja a função f (x) = 2x2, (Dois x ao quadrado) - 3/x2, assinale a alternativa que contenha f´ (x):
f´ (x) = 4x + 3
f´ (x) = 6/x3
f´ (x) = 4x + 6/x3
f´ (x) = 2x2 + 6/x3
f´ (x) = 4x + 6/x

Answer 1

Resposta:

   $\dfrac{6}{x^3}$

Explicação passo a passo:

A interpretação de seu enunciado é  

$f(x) =\dfrac{2x^2-3}{x^{2} }$

$f ' (x) =(\dfrac{2x^2-3}{x^{2} })'$    

Início de resolução

Para melhor entender vou chamar  

g(x) ao numerador

e

h(x) ao denominador.

g(x) = 2x² - 3

h(x) = x²  

Regra de  derivada de um quociente

$\dfrac{h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x)}{(h(x))^2}$

Em termos de leitura

No numerador

produto do denominador  h(x) ,  pela derivada do numerador g' (x)

menos

produto do numerador g (x) , pela derivada do denominador h' (x)

No denominador      

Eleva-se ao quadrado o denominador já existente

$\dfrac{h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x)}{(h(x))^2}$          

Cálculos auxiliares

$g ' (x)= (2x^2 - 3)' = ( 2x^2 ) '- ( 3 )' = 2 * 2x^{2-1}- 0=4x$

$g (2x^2 - 3)' = ( 2x^2 ) '- ( 3 )'$       ( I )

$(-3)'=0$     ( II )    

$h ' (x)= (x^2)'=2*x^{2-1} =2x^1=2x$

Fim cálculos auxiliares

$\dfrac{x^2*4x-(2x^2-3)*2x}{(x^2)^2}$                  

$=\dfrac{4x^3-(4x^3-6x)}{x^4}$

$=\dfrac{4x^3-4x^3+6x}{x^4}$        

 

4x³ e  " - 4x³ "   são opostos ( simétricos ) cancelam-se na adição

$=\dfrac{6x}{x^4}=6*\dfrac{x}{x^4}$

Outro Cálculo auxiliar

$x:x^4=x^1:x^4=x^{1-4} =x^{-3} =(\dfrac{x}{1}) ^{-3} =(\dfrac{1}{x})^3 =\dfrac{1}{x^3}$

Fim de outro cálculo auxiliar

$=6*\dfrac{1}{x^3} =\dfrac{6}{1} *\dfrac{1}{x^3}=\dfrac{6*1}{1*x^3} =\dfrac{6}{x^3}$

Fim de resolução

Observação 1  → Derivada de uma soma ou diferença

É a soma ( ou diferença )  das derivadas, ver em ( I )

Observação 2  → Derivada de uma constante

É zero. ver em ( II )

Observação 3  → Derivada de ( uma constante * uma potência )

Fica a constante, a multiplicar pelo expoente da potência, a multiplicar

pela potência com expoente subtraído de uma unidade)

Exemplo

$( 2*x^2)'= 2*(2*x^{2-1})=4 x^1=4x$

Observação 3  → Divisão de potências com a mesma base

Mantém-se a base e subtraem-se os expoentes, pela ordem em que

aparecem.

Exemplo

$x:x^4=x^{(1-4)} =x^{-3}$

Seria errado se fizesse

$x:x^4=x^{(4-1)} ....errado$

Observação 4  → Mudança de sinal de um expoente

Primeiro inverte-se o valor na base da potência, depois muda-se o

sinal ao expoente.

Exemplo

$x^{-3} =(\dfrac{x}{1}) ^{-3} =(\dfrac{1}{x}) ^{3} =\dfrac{1^3}{x^3} =\dfrac{1}{x^3}$

Observação 5 → Expoentes "escondidos"

Quando temos uma potência sem mostrar nenhum expoente, com

base diferente de zero, esse expoente é 1.

Os matemáticos para simplificar a escrita simbólica na  Matemática,

indicam que expoente 1 não precisa de ser escrito.

Mas está lá para quando for necessário o usar.

Exemplo:

$x = x^1$

 

Observação 6 → Sinal "menos" antes de parêntesis

Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem,

mudam seu sinal.

Exemplo

$-(4x^3-6x)}=-4x^3+6x$

Nota final → Estão aqui muitas regras.

É para o usuário perceber como se faz.

E também a pensar em outros usuários que fazem consultas e podem

ter-se esquecido das regras.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação     ( ' )  sinal de fazer derivada de   ( : )  divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.