Question

O traço de uma matriz A (tr(A)), é definido como a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se A é uma matriz 2×2 tal que a segunda coluna é múltipla da primeira e tr(A)=2. Qual o valor de tr(A^3)?

Escolha uma opção:
a. 2
b. 8
c. 10
d. 30
e. 6

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor o traço do cubo da matriz A, isto é, o "tr(A³)" é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf tr(A^{3}) = [tr(A)]^{3}= 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B\:\:\:}}\end{gathered} }$

Analisando o enunciado, temos a seguinte matriz:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \begin{bmatrix} x & \lambda x\\y & \lambda y\end{bmatrix},\:\:\:com\:x,\:y\in\mathbb{R}\:\:\:e\:\:\:\lambda\in\mathbb{Z}^{*}\end{gathered}$

Desta forma o traço da matriz "A" é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} tr(A) = x + \lambda y\end{gathered}$

Se:

                    $\Large\begin{cases} tr(A) = 2\\tr(A^{3}) = \:?\end{cases}$

Então, temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} tr(A^{3}) = [tr(A)]^{3}\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = tr(A)\cdot tr(A)\cdot tr(A)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot2\cdot2\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8\end{gathered}$

✅ Portanto:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} tr(A^{3}) = 8\end{gathered}$

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Answer 2

tr(A³) = 8 ⟹ Alternativa B 

• Em álgebra linear, o traço de uma matriz quadrada A, denominado tr(A) é definido como sendo a soma dos elementos da diagonal principal.
• O traço de uma matriz é definido apenas para uma matriz quadrada.
• A diagonal principal inicia no elemento superior esquerdo e termina no elemento inferior direito.

$\large \sf tr(A) = \sum\limits_{ i=1 }^{ n } a_{ii}$

$\large \sf tr(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} + \ldots + a_{nn}$

• Considere a matriz A₂ₓ₂

$\large \sf A_{2x2} = \left[\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right]$

• Se a segunda coluna é múltipla da primeira, então:

$\large \sf A_{2x2} = \left[\begin{array}{cc}a&k \cdot a\\b&k \cdot b\end{array}\right]$  ⟹ Onde k é uma constante.

• Determine o traço de A.

tr(A) = a + kb ⟹ Do enunciado: tr(A) = 2

2 = a + bk ①

• Determine o cubo da matriz A.

$\large \sf A^2 = \left[\begin{array}{cc} a & ka\\b&kb \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{cc} a&ka\\b&kb \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} a^2+abk&abk^2+ka^2\\ab+kb^2&abk+b^2k^2\end{array}\right] }$

$\large \sf A^3 = \left[\begin{array}{cc} a^2+abk&abk^2+ka^2\\ab+kb^2&abk+b^2k^2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} a&ka\\b&kb \end{array} \right]$

$\large \sf A^3 = \left[\begin{array}{cc}a^3+ab^2k^2+2bka^2& ab^2k^3+2ba^2k^2+ka^3\\2akb^2+ba^2+k^2b^3&2ab^2k^2+b^3k^3+bka^2 \end{array}\right]$

• Determine tr(A³).

tr(A³) = a³ + ab²k² + 2bka² + 2ab²k² + b³k³ + bka²

• Agrupe os termos semelhantes.

tr(A³) = a³ + ab²k² + 2ab²k² + 2bka²  + bka² + b³k³

Reduza os termos semelhantes.

tr(A³) = a³ + 3ab²k² + 3bka²  + b³k³ ⟹ Reagrupe

tr(A³) = a³ + b³k³ + 3bka² + 3ab²k²

• Fatore:

Soma de dois cubos: a³ + b³k³ = (a + bk)(a² − abk + b²k²)

Fator comum em evidência (FCE): 3bka² + 3ab²k² = 3abk(a + bk)

tr(A³) = (a + bk)(a² − abk + b²k²) + 3abk(a + bk) ⟹ Fatore por FCE.

tr(A³) = (a + bk) [a² − abk + b²k² + 3abk] ⟹ Reduza termos semelhantes.

tr(A³) = (a + bk) (a² + 2abk + b²k²) ⟹ Fatore por Trinômio quadrado perfeito

tr(A³) = (a + bk)(a + bk)² ⟹ Aplique a propriedade de potências de mesma base.

tr(A³) = (a  + bk)³ ⟹ Substitua o valor de a + bk encontrado em ①.

tr(A³) = 2³

tr(A³) = 8 ⟹ Alternativa B

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